概率统计 - 有趣的概率题

1.x+y+z+m=10，其中x,y,z,m都是正整数，那么x,y,z,m有多少种不同的取值组合?

答案：
84

解析：
思路一：挡板问题求解。
十个小球，每个小球代表1，通过3个挡板将其分成四份。
9个空位，选3个空位，插入挡板 C 9 3 = 84 C_{9}^{3} = 84 C93=84

2.一个盒子中有三个大小相同的球，这三个球可能是红和蓝两种颜色，并且一个球是红的还是蓝的是等可能的。已知其中有一个是红色的，那么至少有一个球是蓝色的概率是多少?

答案：
6/7

解析：
思路一：条件概率求解。
P(A=有一个球是红色的） P ( A ) = 1 − 1 2 3 = 7 8 P(A) = 1-\frac{1}{2}^3 = \frac{7}{8} P(A)=1−213=87含义：有一个球是红色的真实含义是至少有一个球是红色的，即三个球不全为蓝色。
P(B=至少有一个球是蓝色的)

要求的为，P(B|A), 有条件概率公式，我们知道
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)
P ( A B ) = 1 − 1 2 2 = 3 4 P(AB) = 1-\frac{1}{2}^2 = \frac{3}{4} P(AB)=1−212=43含义：有一个为红色确定了，剩下的两个不全为红色。
故P(B|A) = 6/7

3.老王有两个孩子，已知至少有一个孩子是在星期二出生的男孩。问：两个孩子都是男孩的概率是多大？

答案：
13/27

解析：
思路一：条件概率求解
A = 至少一个孩子是星期二出生的男孩
B = 两个孩纸都是男孩
求P(B|A) ， P(B|A) = P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)
P(A) = P(两个男孩至少一个星期二的概率) + P(一男一女其中男孩是星期二的概率) = ( 2 ∗ 7 − 1 ) + ( 7 ∗ 2 ) 7 ∗ 7 ∗ 4 \frac{(2*7-1) + (7*2)}{7*7*4} 7∗7∗4(2∗7−1)+(7∗2)
P(AB) = 2 ∗ 7 − 1 7 ∗ 7 ∗ 4 \frac{2*7-1}{7*7*4} 7∗7∗42∗7−1
故，P(B|A) = 2 ∗ 7 − 1 ( 2 ∗ 7 − 1 ) + ( 7 ∗ 2 ) \frac{2*7-1}{(2*7-1) + (7*2)} (2∗7−1)+(7∗2)2∗7−1 = 13/27

这个等式值得玩味一下，正好引入另一种思路。
分子2*7-1正是两个男孩至少一个星期二出生的所有情况，而分母则为两个男孩至少一个星期二出生的所有情况+一男一女其中男孩星期二出生的所有情况。
如果从把所有情况列出来的角度考虑是会直接列出这个式子的，而不是再除以所有的可能7*7*4以求概率再套公式。

当然，这并不妨碍某个憨憨（不是我）上来就用贝叶斯公式 ,强行增加计算量
AB的含义一样
由贝叶斯公式可知：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / P(A) ，其中
P(B) = 1/4
P(A) = (7*2+2*7-1) / 7*7*4
P(A|B) = (2*7 - 1) / 7*7
故P(B|A) = 13/27.
说明：
P(A) 的分母：每个孩子都有7种出生星期，两个孩子组合就是7*7，共有四种生孩子可能*4
P(A) 的分子：男孩星期二，女孩随意有7种可能，一男一女两种情况7*2，再加上两个都是男孩至少一个星期二2*7-1，减一排除两个都是星期二重复了一次。
P(A|B) 分子分母同上。

4.一堆硬币，一个机器人，如果是反的就翻正，如果是正的就抛掷一次，无穷多次后，求正反的比例？

答案：
2：1

解析：
思路一：
P(A = 在第N次为正面的概率)
P(B = 第N+1次为正面的概率）
根据题意，P(A) = P(B)
设P(A) = x, 那么由题意P（B）= x/2 + 1-x （注意这里x/2 是说已经为正面了再抛一次又为正面）

5.如果在高速公路上30分钟内看到车开过的几率是0.95，那么在10分钟内看到车开过的几率是多少?

答案：
63.16%

解析：
思路一：
设10分钟内看到车开过的几率是x,
那么30分钟没有一辆车开过的概率 ( 1 − x ) 3 (1-x)^3 (1−x)3
( 1 − x ) 3 = 0.05 (1-x)^3 = 0.05 (1−x)3=0.05 解的 x = 0.6316

6.在某恶劣天气，若地图上S点到T点的交通网如下图所示，其中每条边表示一条双向通道，其上的数字为该通路可通行的概率，且该概率两两独立。求S到T的可通行概率为多少？

答案：
59/144

解析
思路一
到达T有两种方式，从B到和从C到
1.能从B到：
<1>经过A再到B =1/2*1/3=1/6
<2>直接到B =1*2
能到B的情况为<1>,<2>都不成立的非，即1-5/6*1/2=7/12
故能从B到T的概率为7/12*1/2=7/24
不能从B到T的概率为17/24
2.能从C到：
不能从C到T的概率为5/6
故能到T的情况为1，2都不成立的非，即1-17/24*5/6=59/144

7.爸爸,妈妈,妹妹,小强,至少两个人同一生肖的概率是?

答案：
41/96

解析：
思路一：
P（A=生肖都不同） = 12 ∗ 11 ∗ 10 ∗ 9 1 2 4 \frac{12*11*10*9}{12^4} 12412∗11∗10∗9
1- P(A) = 41/96

8.有一个箱子，n把钥匙，只有一把钥匙能打开箱子，现在拿钥匙去开箱子，平均多少次能打开箱子?

答案：
(n+1)/2

解析：
思路一：
P(第一次能打开箱子) = 1/n
P(第二次能打开箱子) = n − 1 n ∗ 1 n − 1 = 1 n \frac{n-1}{n}*\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} nn−1∗n−11=n1
每次能打开箱子的概率都为 1 n \frac{1}{n} n1
E = ∑ i = 1 n i ∗ p ( i ) = n + 1 2 E = \sum_{i=1}^{n}i*p(i) = \frac{n+1}{2} E=∑i=1ni∗p(i)=2n+1

9.在游戏Dota2中，有一位非常强大的英雄卡尔，他有三种属性：冰、火、雷。同时卡尔身上有三个无顺序的属性槽，他可以从三种属性中任意选择三个放入属性槽中，然后通过当前的属性组合召唤技能。每种不同的属性组合都可以为卡尔召唤出不同的技能，共有十种组合：

1、冰冰冰
2、冰冰火
3、冰冰雷
4、冰火火
5、冰火雷
6、冰雷雷
7、火火火
8、火火雷
9、火雷雷
10、雷雷雷
现在我们想继续加强卡尔，如果给卡尔四种属性：冰、火、雷、风，同时给卡尔四个无顺序的属性槽，从而让卡尔可以从四种属性中任意选择四个，则请问卡尔共可以召唤出多少种不同的技能？

答案：35

解析：
思路一：
可以视为将四个一模一样的小球丢到风火雷冰的四个箱子中，这样我们需要考虑的可能就是球的划分。
4:0:0:0， C 4 1 C_{4}^{1} C41
3:1:0:0， C 4 2 ∗ C 2 1 C_{4}^{2}*C_{2}^{1} C42∗C21
2:2:0:0， C 4 2 C_{4}^{2} C42
2:1:1:0， C 4 3 C 3 1 C_{4}^{3}C_{3}^{1} C43C31
1:1:1:1， C 4 1 C_{4}^{1} C41

10.在5张卡片上按顺序写上laval这五个字母，并依次放入5个盒中，有人从中任意取出两张卡片使用，但是在放回时，忘记了两张卡片各自的位置，求此人将卡片随意放回两个空盒子后卡片顺序仍为laval的概率

答案：
0.6

解析：
思路一：
从五张卡片中取出两张的可能性共有 C 5 2 = 10 C_{5}^{2}=10 C52=10种。
其中抽到ll和aa这两种情况，随意放回都是正确的，
剩下的8种情况，有0.5的准确率正确放回。
故正确放回的情况，共6种
6/10 = 0.6