比较99^100与100^99大小

2024-06-04 02:27:45

比较99^100与10099大小

问题点

99100是100个99的积；99^{100} 是100个99的积；99100是100个99的积；
10099是99个100的积；100^{99}是99个100的积；10099是99个100的积；
对于平面加法来说，和均为9900；对于平面加法来说，和均为9900；对于平面加法来说，和均为9900；
所以这是个xy与yx的大小且xy问题;所以这是个x^y与y^x的大小且xy问题;所以这是个xy与yx的大小且xy问题;

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比较99^100与100^99大小
- 问题点
- 整数拆分类推：
- 证明：
- 进制应用

整数拆分类推：

12=1+1+....+1−−>112=1;12 = 1 + 1 + .... + 1 --> 1^{12}=1;12=1+1+....+1−−>112=1;
12=2+2+...+2−−>26=64;12 = 2 + 2 + ... + 2 --> 2^6 = 64;12=2+2+...+2−−>26=64;
12=3+...+3−−>34=81;12 = 3 + ... + 3 --> 3^4 = 81;12=3+...+3−−>34=81;
12=4+..+4−−>43=64;12 = 4 + .. + 4 --> 4^3 = 64;12=4+..+4−−>43=64;
12=5+5+2−−>=50;12 = 5 + 5 + 2 --> =50;12=5+5+2−−>=50;

结论：1) 尽量拆3； 2) 拆2,4不拆1； 3) 比3大得越多，积越小；

证明：

N=X+X+X+........+X(n=NX)N = X + X + X + ........ + X (n=\dfrac{N}{X}) N=X+X+X+........+X(n=XN)
f(x)=xn=xNX①f(x) = x^n = x^\dfrac{N}{X} ①f(x)=xn=xXN①

求f(x)的最大值：
两边求对数：lnf(x)=lnxNX=NlnxXlnf(x) = lnx^\dfrac{N}{X} = N\dfrac{lnx} { X}lnf(x)=lnxXN=NXlnx
求lnf(x)最大值，求导：
[lnf(x)]′=N((1−lnx)x2)[lnf(x)]' = N(\dfrac{(1-lnx) } {x^2})[lnf(x)]′=N(x2(1−lnx))
当x = e为lnf(x)的最大值，即f(x)的最大值：eNee^\dfrac{N}{e}eeN
所以x离e最近的数越大: 99100>1009999^{100} > 100^{99}99100>10099

进制应用

这个e的证明为二进制的发展奠定了一部分理论基础；
假设你有一定个数的信息表示(比如：指令集个数或地址线个数为100):
那么在总数有限的范围下，如果用这些总线数量来寻址表示更大的范围呢？这就是进制的一种应用；

这里以上述类推的12地址线总数计算为例：

如果用4进制可以描述为(4+4+4)：每个段有4个通路，共3段；
如果用3进制可以描述为(3+3+3+3)：每个段有3个通路，共4段；
如果用2进制可以描述为(2+2+2+2+2+2)：每个段有2个通路，共6段；
在不考虑实现方案难易程度下,4,3,2进制换成10进制所能表达的范围分别是：64,81,64；
则说明同一堆有限量，采用3为最优解能排列描述更多的信息；

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