计算机中各种进制之间的相互转换过程

一.进制的由来

1.定义

进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。对于任何一种进制---X进制，就表示每一位上的数运算时都是逢X进一位。十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制。

2.二进制

二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示。

例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。

3.八进制

由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7,并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。

八进制用下标8或数据后面加O表示，例如：八进制数据: (352.264)8或352.264O或者（497.351)O。

4.十进制

由于人类解剖学的特点，双手共有十根手指，故在人类自发采用的进位制中，十进制是使用最为普遍的一种。

十进制的基数为10，数码由0-9组成，计数规律逢十进一。例如：十进制数据:（159)10或者（967)D。

5.十六进制

由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。

十六进制数有两个基本特点：它由十六个数码：数字0～9加上字母A-F组成（它们分别表示十进制数10～15），十六进制数运算规律是逢十六进一，即基数R=16=2^4，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别，在c语言中用添加前缀0x以表示十六进制数。

例如：十六进制数4AC8可写成(4AC8)16，或写成(4AC8)H。

由此我们可以知道各进制的由来与产生效果的不同了。

二.R进制数转换为十进制数

R进制转换成十进制：

方法就是按权展开相加（系数乘以基数的权次方相加）

系数：就是就是每一位上的数

基数：R进制的基数就是R

权：从右侧开始每一位的索引值从0开始，每一位对应的索引值就是权值.

（1）二进制数转换为十进制数

例：将一个二进制数 (10101)B = (____)D

在二进制数10101中，共有五位系数。计算应从低位到高位依次乘以2的i次方最后相加（ i为每一位数字的权重，它是随着低位向高位的进发而每增加1，直到没有系数为止）。

（10101) B= 1*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=1+0+4+0+16=21

所以（10101) B= (21) D

例：将一个二进制带小数（1101.01) B=（______) D

对于二进制数带小数，以整数的最低位索引权重0为界限，整数部分是大于0的正整数且从右向左，从低位到高位按权分配；而小数部分则是小于0的负整数且从左向右，从高位到低位按权分配的。

( 1101.01 ) 2 = 1× 2^3 + 1× 2^2 + 0× 2^1 + 1× 2^0 + 0×2^(-1) + 1×2^(-2) = 8 + 4 + 1 + 0.25 = 13.25

所以（1101.01) B= (13.25) D

(2)八进制转十进制

同理，八进制转换十进制也是每一位乘以8的i次方最终相加而成得到结果。

例如： ( 267.5 ) 8 = (_____) D

( 267.5 ) 8 = 2 × 8^2 + 6 × 8^1 + 7 × 8^0 + 5 × 8^(-1) = 128 + 48 + 7 + 0.625 = 183.625

所以 ( 267.5 ) 8 =(183.625) D

（3）十进制的安全展开图

（4）十六进制转换十进制

16进制数共有16位数码，∈{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

A代表10，B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F代表15

例如： ( 4 A 8 F .5 ) H =（_______）D

( 4 A 8 F.5 ) H = 4×16^3 + 10×16^2 + 8×16^1 + 15×16^0 + 5×16^(-1) = 16384 + 2560 + 128 + 15 + 0.3125 = 19087.3125

所以( 4 A 8 F.5 ) H =（19087.3125）D

再次总结一句话：R进制转换十进制的口诀就是方法就是按权展开相加（系数乘以基数的权次方相加）。

三.十进制转换R进制

十进制转换R进制时，方法步骤：

1.将十进制整数转换成R进制整数采用“除R取倒余法”。即将十进制整数除以R，得到一个商和一个余数；再将商除以R，又得到一个商和一个余数；以此类推，直到商等于零为止。每次得到的余数的倒排列，就是对应R进制数的各位数。

2. 十进制小数转换成R进制小数。十进制小数转换成R进制小数是用“乘R取整法”。即用R逐次去乘十进制小数，以此类推，直到余数为1停止。将每次得到的积的整数部分按各自出现的先后顺序依次排列（与整数的排列顺序相反），就得到相对应的R进制小数。

（1）十进制转二进制--（小数部分除二取余，逆序排列，小数部分乘2取整，顺序排列）

例：将25转换为二进制数

解：25÷2=12 余数1

12÷2=6 余数0

6÷2=3 余数0

3÷2=1 余数1

1÷2=0 余数1 最终将余数倒着写出来即可！

所以（25) 10 =(11001)2

例：将（25.125）D==转换为二进制数

解：整数部分25的计算如上：（25) 10 =(11001)2

小数部分：0.125 *2=0.25......整0

0.25 *2 =0.50……整0

0.50*2=1.0……整1

所以（0.125) D=（0.001) B，与整数相加而成就是（25.125) 10 =(11001.001)2

（2）十进制转换八进制（整数部分除八取余，逆序排列，小数部分乘八取整，顺序排列）

例：将十进制数1000，转换为八进制数。

解：1000/8=125,余数为0;
        125/8=15,余数为5;
        15/8=1,余数为7;
        1/8=0,余数为1;
        从上往下看这些余数，逆序写出就是1750，要注意的是最后一定要除到0为止，也就是最后一步1/8=0，一定要除到0.

所以（1000) D=(1750) O

（2）十进制转换十六进制（整数部分除十六取余，逆序排列，小数部分乘十六取整，顺序排列）

例: 将十进制数(0.9032) D转化成16进制小数

解： 0.9032*16=14.4512 取整数14 即E

0.4512*16=7.2192 取整数7

0.2192*16=3.5072 取整数3

0.5072*16=8.1152 取整数8

0.1152*16=1.8432 取整数1

所以：（0.9032) D= （0.E7381) H

四.二八进制的相互转换

1、先了解二进制数与八进制数之间的对应关系。

2、二进制转换成八进制的方法是，取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每三位取成一位。

3、分好组以后，对照二进制与八进制数的对应表，将三位二进制按权相加，得到的数就是一位八进制数，然后按顺序排列，小数点的位置不变，最后得到的就是八进制数。

4、这里需要注意的是，在向左（或向右）取三位时，取到最高位（最低位）如果无法凑足三位，就可以在小数点的最左边（或最右边）补0，进行换算。

下面看看将八进制转为二进制，反过来啦，方法就是一分三，即一个八进制数分成三个二进制数，用三位二进制按权相加，最后得到二进制，小数点依旧就可以了。

五.二进制与十六进制的相互转换

1.二进制数与十六进制数之间的对应关系。

2.二进制转换成十六进制的方法是，取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每四位取成一位。

3. 分好组以后，对照二进制与十六进制数的对应表，将四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六进制数，然后按顺序排列，小数点的位置不变，最后得到的就是十六进制数。

4. 在向左（或向右）取四位时，取到最高位（最低位）如果无法凑足四位，就可以在小数点的最左边（或最右边）补0，进行换算，与八进制同理。

5. 十六进制转为二进制，反过来啦，方法就是一分四，即一个十六进制数分成四个二进制数，用四位二进制按权相加，最后得到二进制数。

六.八进制与十六进制的相互转换

八进制与十六进制相互转换时，需要用到中间值--二进制，二进制是八进制与十六进制相互转换的桥梁。这样做不仅方便，而且不易出错。具体的就不再进行过多讲解了。

八进制转换十六进制：

八进制==>二进制==>十六进制

十六进制转换八进制：

十六进制==>二进制==>八进制

好了，进制的转换就讲到这里，大家觉得有用的话，关注关注点个赞吧！！