路径压缩优化并查集的时间复杂度

路径压缩优化并查集大家一定很熟练了，那么它的复杂度是多少呢？O(mα(n))O(m\alpha(n))O(mα(n))？

的确，很多人都是这么说的，但是事实上它的复杂度是O(mlog⁡1+m/nn)O(m\log_{1+m/n}n)O(mlog1+m/nn)的，并且能找到一种方法卡到这样的复杂度。

要卡并查集，首先要构造一种树——二项树。这种二项树还与普通的不太一样。

定义：在给定jjj的情况下，二项树TkT_kTk定义如下：

若k≤jk\leq jk≤j，TkT_kTk是一个点。
若k>jk>jk>j，TkT_kTk是Tk−1T_{k-1}Tk−1的根结点增加一棵Tk−jT_{k-j}Tk−j的子树。

这棵树非常有意思，我们可以展开Tk−jT_{k-j}Tk−j，接着展开Tk−2jT_{k-2j}Tk−2j……

另外，也可以展开Tk−1T_{k-1}Tk−1，接着展开Tk−2T_{k-2}Tk−2……

容易发现，图5看起来像图4的路径压缩之后的结果，但是不完全一样。

如果首先按照图5的方式展开jjj棵子树，再按图4展开，可以得到

此时，如果在根节点上再加一个点，jjj次访问T1T_1T1到TjT_jTj，那么路径压缩后可以得到图5外加一个点作为根的儿子。

也就是说，这棵二项树路径压缩后约等于没有路径压缩……只是将原来作为根结点父亲的那个点变成了儿子。

至于TkT_kTk的点数，通过数学归纳法可以发现不会超过(j+1)k/j−1(j+1)^{k/j-1}(j+1)k/j−1个。

假设m≥nm\geq nm≥n，令j=mn,i=log⁡j+1n2+1,k=ijj=\frac{m}{n},i=\log_{j+1}\frac{n}{2}+1,k=ijj=nm,i=logj+12n+1,k=ij，那么TkT_kTk的点数不超过n2\frac{n}{2}2n。接下来做n2\frac{n}{2}2n组操作，每次加入一个点作为根结点的父亲，然后对T1T_1T1到TjT_jTj逐个查询，每次查询的长度是i+1i+1i+1，同时查询的次数显然不超过mmm。因此总操作次数为n2j(i+1)\frac{n}{2}j(i+1)2nj(i+1)，即O(mlog⁡1+m/nn)O(m\log_{1+m/n}n)O(mlog1+m/nn)。

图片取自康复计划#4 快速构造支配树的Lengauer-Tarjan算法。

转载于:https://www.cnblogs.com/Canopus-wym/p/10376053.html

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