1. 前置知识点：

(1)正交: 那么什么为正交呢，说白了就是两条相互垂直的线就可以称为“正交”;

(2)切线：与一个圆相切的线就为切线；

(3)单位圆：半径长度为1的圆就叫做单位元，当然这个1是没有量纲（单位）的;

2. 正切线的概念

（1）概念实体化理解：在了解过上边所述的概念后，那么正切线的概念其实就很好理解了——在坐标系中，以原点为圆心做单位圆，并存在一条直线，该直线即垂直于x轴又相切于单位圆，那么我们就称该直线为正切线。当然这个正切线的长度是不确定的（如果长度确定了的化，该正切线就为正切了）。

（2）白话叙述：就是有一条直线相切于单位圆，又垂直于x轴，该直线就为正切线；

3. 余切线的概念

（1）概念实体化理解：正切线的定义明白了以后，那么余切线的定义是什么呢？其实很简单，正切线是垂直于x轴的，那么垂直于y轴的线就称为余切线；

（2）白话叙述：就是有一条直线相切于单位圆，又垂直于y轴，该直线就称为余切线；

4. 正切的概念

在掌握了正切线和余切线的概念后，我们来讨论一下正切(tan)的概念：上文说到，当正切线的长度确定了以后，这个确定长度的正切线就为正切(tan)，但是需要注意的是，正切线的长度和正切值之间存在着一些异同点。请往后看！

5. 正切值的确定

（1）正切线长度和正切值之间的关系：准确的来讲，正切线的长度是等于正切值的模的，从向量的概念中我们可以知道模的概念就是去掉方向只考虑大小的一种概念。而不同点就是，正切值需要根据正切值所对应的正切角所在象限的x轴和y轴的正负来确定正切值的正负，而正切线的长度一定为正；因此，我们就知道，正切值可以先由正切线的长度来确定正切值的模，然后在根据正切角所在的象限来确定正切值的正负；那么问题就简单了，我们该如何求正切线长度的大小呢？请往后看！

（2）正切线长度大小以及正切值的确定：下面我们来引入一张图片！根据该图片我们很容易就能确定正切线的长度。以角C’OB’=α为例，tan α所对应的正切线长度为线C’B’的长度，而在三角形C’OB’中可以知道tan α=对边比邻边=C’B’/B’O（其中B’O为1），并且α为第一象限角，所以在直角坐标系中该象限的x轴和y轴均为正数；所以，tan α = C’B；

6. 当正切角大于90°切小于270°时的正切值该如何确定

（1）tan (90°+α) 的正切值：还是如图中所示，我们发现，当正切tan的正切角角大于90度并且小于270度时，我们的正切线无论如何都不可能过点B’！那么根据正切线的概念我们来找一下，除了B’这个点以外我们还能找到那个点可以与圆相正切？聪明的我们是不是找到了点E。那么这时我们正切线的长度是不是就可以确定为线DE的长度了呢！但是有一个关键的点需要注意！如上文所说正切线的长度并不是正切值，他们俩之间的唯一区别就是正切值要确定直角坐标系中x轴和y轴的正负，而正切线的长度一定是一个正数。那如图中所示：tan (90°+α)所对应的正切角在第二象限，x轴为负半轴、y轴为正半轴，因此tan (90°+α) = -DE，而DE可以由三角形DOE中的三角函数tan β来确定，DE=DE/OE=tan β。因此，我们可以推导出tan (90°+α) = -DE=-(DE/OE)=-tan β。而在三角形BCO中又可以确定tan β=BO/BC=1/(BC/BO)=1/tan α。在进一步推倒可以得出以下结论：

tan (90°+α) = -DE=-(DE/OE)=-tan β=-(BO/BC)=-1(BC/BO)=-1/tan α

（2）tan (180°+α) 的正切值：根据上述步骤，首先确定正切线的长度为线C’’E的长度，而正切角180°+α在第三象限，因此x和y都在负半轴，并且负负得正，所以tan(180°+α)=C‘’E。而根据三角形EOC’'可以确定tan α=C‘’E/EO=C‘’E=tan(180°+α)（其中EO为1）。因此得出结论：

tan(180°+α)=tan α

7. 当正切角大于270°小于360°时的正切值该如何确定

为了方便阅读，我再把图插入一遍：

（1）tan (270°+α) 的正切值：根据上述步骤，首先确定正切线的长度为线D’’B’的长度，而正切角270°+α在第四象限，因此x轴为正，y轴为负，所以tan (270°+α)=-D’’B’。而根据三角形D’’OB’可以确定tan β = D’’B’/B’O =D’’B’=-tan (270°+α)（其中B’O为1），而又根据三角形OC’’’E’可以确定tan β=E’O/C’’’E’=1/(C’’’E’/E’O)=1/tan α。那么进一步又可得出以下结论：

tan (270°+α)=-D’’B’=-D’’B’/B’O=-tan β=-(E’O/C’’’E’)=-1/(C’’’E’/E’O)=-1/tan α

8. 回归本源

让我们用一张图片来回归本源：

让我们看一下上边的结论对不对：

tan (90°+α)=-1/tan α

tan (180°+α)=tan α

tan (270°+α)=-1/tan α

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正切tan的概念实体化

1. 前置知识点：

(1)正交: 那么什么为正交呢，说白了就是两条相互垂直的线就可以称为“正交”;

(2)切线：与一个圆相切的线就为切线；

(3)单位圆：半径长度为1的圆就叫做单位元，当然这个1是没有量纲（单位）的;

2. 正切线的概念

（2）白话叙述：就是有一条直线相切于单位圆，又垂直于x轴，该直线就为正切线；

3. 余切线的概念

（1）概念实体化理解：正切线的定义明白了以后，那么余切线的定义是什么呢？其实很简单，正切线是垂直于x轴的，那么垂直于y轴的线就称为余切线；

（2）白话叙述：就是有一条直线相切于单位圆，又垂直于y轴，该直线就称为余切线；

4. 正切的概念

5. 正切值的确定

6. 当正切角大于90°切小于270°时的正切值该如何确定

tan (90°+α) = -DE=-(DE/OE)=-tan β=-(BO/BC)=-1(BC/BO)=-1/tan α

tan(180°+α)=tan α

7. 当正切角大于270°小于360°时的正切值该如何确定

为了方便阅读，我再把图插入一遍：

tan (270°+α)=-D’’B’=-D’’B’/B’O=-tan β=-(E’O/C’’’E’)=-1/(C’’’E’/E’O)=-1/tan α

8. 回归本源

让我们看一下上边的结论对不对：

tan (90°+α)=-1/tan α

tan (180°+α)=tan α

tan (270°+α)=-1/tan α

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