【量化笔记】Markowitz均值-方差模型

Markowitz均值-方差模型是一种确定在N种资产上投资比例的模型

假定现在投资人初始财富W0W_0W0，在N种资产上的投资比重分别为w1,w2,w3,...,wNw_1,w_2,w_3,...,w_Nw1,w2,w3,...,wN,未来期望收益率为RpR_pRp

投资者的目标是收益最大化的同时，使风险最小化

所以投资过程可以抽象为：
maxwiE[U(Rp)]=E[U(∑i=1NwiRi)]s.t.∑i=1Nwi=1max_{w_i} \mathbb E[U(R_p)]= \mathbb E[U(\sum_{i=1}^{N}w_iR_i)] \\s.t. \sum_{i=1}{N}w_i=1maxwiE[U(Rp)]=E[U(∑i=1NwiRi)]s.t.∑i=1Nwi=1（收益最大化）

minwiσ2(Rp)=∑i=1Nwi2σ2(Ri)+∑i<>jwiwjσ(Ri,Rj)s.tRp=∑i=1NwiE(Ri)∑i=1Nwi=1min_{w_i} \sigma^2(R_p) = \sum_{i=1}^{N}w_i^2\sigma^2(R_i)+\sum_{i <> j}w_iw_j\sigma(R_i,R_j) \\s.t \ R_p=\sum_{i=1}^N w_i\mathbb E(R_i) \\\sum_{i=1}^{N}w_i=1minwiσ2(Rp)=∑i=1Nwi2σ2(Ri)+∑i<>jwiwjσ(Ri,Rj)s.t Rp=∑i=1NwiE(Ri)∑i=1Nwi=1(风险最小化)

假设R1,R2,...,RNR_1,R_2,...,R_NR1,R2,...,RN均服从正态分布，进一步假设U(.)U(.)U(.)是常见的凹函数。

跳过一系列解方程的过程，这是一个二次规划问题，最后解的形式为：
w∗=a+bRpw^*= a+bR_pw∗=a+bRp
其中a=ζΣ−1e−αΣ−1R‾ζδ−α2b=δΣ−1R‾−αΣ−1eζδ−α2a=\frac{\zeta \Sigma^{-1}e-\alpha\Sigma^{-1}\overline R}{\zeta \delta-\alpha^2} \\b=\frac{\delta \Sigma^{-1}\overline R-\alpha\Sigma^{-1}e}{\zeta \delta-\alpha^2}a=ζδ−α2ζΣ−1e−αΣ−1Rb=ζδ−α2δΣ−1R−αΣ−1e
其中
α=R‾′Σ−1eζ=R‾′Σ−1R‾δ=e′Σ−1e\alpha = \overline R' \Sigma^{-1}e \\\zeta=\overline R' \Sigma^{-1} \overline R \\\delta = e'\Sigma^{-1}eα=R′Σ−1eζ=R′Σ−1Rδ=e′Σ−1e
只考虑风险资产的效率前缘：

下面考虑存在无风险投资的情况，比如银行存款，假设无风险投资的收益率为RfR_fRf

那么我们的投资模型可以重新抽象为：
minwiσ2(Rp)=∑i=1Nwi2σ2(Ri)+∑i<>jwiwjσ(Ri,Rj)s.t.R‾p=Rf+∑i=1Nwi[E(Ri)−Rf]min_{w_i} \sigma^2(R_p) = \sum_{i=1}^N w_i^2\sigma^2(R_i) + \sum_{i<>j}{w_iw_j\sigma(R_i,R_j)} \\s.t.\ \overline R_p = R_f + \sum_{i=1}{N}w_i [ \mathbb E(R_i)-R_f]minwiσ2(Rp)=∑i=1Nwi2σ2(Ri)+∑i<>jwiwjσ(Ri,Rj)s.t. Rp=Rf+∑i=1Nwi[E(Ri)−Rf]

求解结果是：
w∗=R‾p−Rfζ−2αRf+δRf2Σ−1(R‾−Rfe)w^* = \frac{\overline R_p-R_f}{\zeta -2\alpha R_f+\delta R^2_f} \Sigma^-1(\overline R-R_fe)w∗=ζ−2αRf+δRf2Rp−RfΣ−1(R−Rfe)

图中直线的表示了风险和收益的关系，风险越高收益越高，这是符合直觉的。
表达式为：
E(Rp)=Rf+E(Rm)−Rfσmσp\mathbb E(R_p)=R_f +\frac{\mathbb E(R_m)-R_f}{\sigma_m}\sigma_pE(Rp)=Rf+σmE(Rm)−Rfσp

如此可以得到CAPM模型的结论：对于任何资产组合q，其收益率RqR_qRq满足
E(Rq)=Rf+βqm[E(Rm)−Rf]\mathbb E(R_q) = R_f +\beta_{qm}[\mathbb E(R_m)-R_f]E(Rq)=Rf+βqm[E(Rm)−Rf]
其中βqm=σ(Rq,Rm)σ2(Rm)\beta_{qm} = \frac{\sigma(R_q,R_m)}{\sigma^2(R_m)}βqm=σ2(Rm)σ(Rq,Rm)
投资组合也可以是单一资产：
E(Ri)=Rf+βim[E(Rm)−Rf]\mathbb E(R_i) = R_f +\beta_{im}[\mathbb E(R_m)-R_f]E(Ri)=Rf+βim[E(Rm)−Rf]
其中βim=σ(Ri,Rm)σ2(Rm)\beta_{im} = \frac{\sigma(R_i,R_m)}{\sigma^2(R_m)}βim=σ2(Rm)σ(Ri,Rm)

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