问题介绍

设流经某多孔介质的一维流动控制方程为：
C ∣ u ∣ u + d p / d x = 0 C|u|u+dp/dx=0 C∣u∣u+dp/dx=0 d ( u F ) / d x = 0 d(uF)/dx=0 d(uF)/dx=0
其中，系数 C C C与空间位置有关， F F F为流道的有效截面积。
对于图1所示的均匀网格，假定：
C B = 0.25 C_B=0.25 CB=0.25 C C = 0.2 C_C=0.2 CC=0.2 F B = 5 F_B=5 FB=5 F C = 4 F_C=4 FC=4 p 1 = 200 p_1=200 p1=200 p 3 = 38 p_3=38 p3=38 Δ x = 2 \Delta{x}=2 Δx=2
以上各单位都是协调的（也就是说不用管单位，直接带入数值计算就得了），试采用 S I M P L E SIMPLE SIMPLE算法确定 p 2 、 u B 、 u C p_2、u_B、u_C p2、uB、uC的值？

之前对于 ∣ u ∣ u |u|u ∣u∣u的写法很不理解，20210803突然想到，这样的写法不就体现出方向性了吗？如果写成 u 2 u^2 u2就不能体现方向性了。所以这样的写法本人猜测其核心是为了体现方向性。

求解思想

首先，从图1我们可以看出，本算例采用的是交错网格（staggered grid）：速度 u u u和压力 p p p分别存储于两套不同的网格系统；速度 u u u存储于压力 p p p控制容积的东、西界面上。
其次，我们主要是体会 S I M P L E SIMPLE SIMPLE算法的精髓：压力修正+预估校正。
最后，在程序中体现迭代校正。自拟初始估计值。

压力修正方法的基本思想

1、假设一个压力场，记为 p ∗ p^{*} p∗;
2、利用 p ∗ p^{*} p∗，求解动量离散方程，得到相应的速度 u ∗ u^{*} u∗;
3、利用质量守恒方程来改进压力场，要求与改进后的压力场相对应的速度场能满足连续方程；
4、用 p ′ p^{'} p′表示压力修正值， u ′ u^{'} u′表示速度修正值，以 p ∗ + p ′ p^{*}+p^{'} p∗+p′及 u ∗ + u ′ u^{*}+u^{'} u∗+u′作为本层次的解，并据此开始下一层次的迭代计算。

两个关键问题

1、如何获得压力修正值 p ′ p^{'} p′，使（ p ∗ + p ′ p^{*}+p^{'} p∗+p′）满足连续性方程?
2、获得 p ′ p^{'} p′后，如何确定 u ′ u^{'} u′?

求解步骤及说明

求解步骤与压力修正方法的基本思想不同，一个是先假定速度，一个是先假定压力，哪个是对的？
答：没有矛盾。先假定速度是为了求动量离散方程的系数及源项

疑惑： a e a_e ae表示动量方程离散系数？怎么求解？

本案例求解分析过程

本案例计算Python代码

# 已知参数
CB = 0.25
CC = 0.2
FB = 5
FC = 4
p1 = 200
p3 = 38
dx = 2# B、C处的速度试算值和初始压力假定
uB_0 = 8
uC_0 = 10
p2_star = 100# 设置统计迭代次数变量
count = 1# 迭代开始
while 1:# 求速度预估值uB_star = 0.5 * uB_0 - (p2_star - p1) / (2 * CB * uB_0 * dx)uC_star = 0.5 * uC_0 - (p3 - p2_star) / (2 * CC * uC_0 * dx)# 求压力修正值p2_correction = 2 * dx * (uB_star * FB - uC_star * FC) / ((FB / (CB * uB_0)) + (FC / (CC * uC_0)))# 求速度修正值uB_correction = - p2_correction / (2 * CB * uB_0 * dx)uC_correction = p2_correction / (2 * CC * uC_0 * dx)# 迭代结果p2 = p2_star + p2_correctionuB = uB_star + uB_correctionuC = uC_star + uC_correction# 打印第count次的迭代结果（第count次的真值，可能不是最终真正的真值）print('第',count,'次迭代结果：')print('p2 = ',p2) print('uB = ',uB)print('uC = ',uC)print('\n')# 退出循环判断# if abs(p2_correction) < 0.000001 and abs(uB_correction) < 0.000001 and abs(uC_correction) <0.000001:#退出循环条件if abs(p2 - p2_star) < 0.000001 and abs(uB - uB_0) < 0.000001 and abs(uC - uC_0) <0.000001:# 条件判断中的p2_star、uB_0、uC_0是上一迭代层的真值（从下面else中赋值语句可以看出）# 条件判断中的p2、uB、uC是最新迭代层（本迭代层）的真值# 以上一迭代层的真值与本迭代层的真值的差值小于10的负6次方作为收敛条件（收敛后每一迭代层的真值理应相等）breakelse:p2_star = p2uB_0 = uBuC_0 = uCcount += 1print('只需迭代',count,'次使得残差值都小于10的负6次方')
print('最终求得的结果为：')
print('p2 = ',p2)
print('uB = ',uB)
print('uC = ',uC)

计算结果如下：

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