最近，经常接触到 Compact set 这个名词。例如，这几天闹的沸沸扬扬的黎曼猜想，那位老教授放在网上的证明有一行说 compact convex set。我觉得似乎很有必要弄明白这个名词到底什么含义。

1. 紧集的定义

若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集（compact set）¹。

例如：
区间 (−∞,2](-\infty, 2](−∞,2] 不是紧集，因为它下无界。
区间 (−2,4)(-2, 4)(−2,4) 不是紧集，因为它不是闭集。
区间 [−2,4][-2, 4][−2,4] 是紧集，因为它既是闭集又有界。

2. 开集的定义

对集合中的任意一点，存在改点的一个邻域也全在集合中。
区间 (−1,2)(-1, 2)(−1,2) 是开集

3. 闭集的定义

在拓扑空间中，闭集（closed set）是指其补集为开集的集合²。
另一个比较好的理解是：若一个集合包含其所有的界限点，则该集合为闭集。
例如：
区间 (−∞,2](-\infty, 2](−∞,2] 是闭集（这是一个半区间）。
区间 (−1,2](-1, 2](−1,2] 既不是开集，也不是闭集。
有理数集合 QQQ 既不是开集，也不是闭集。

Compact Space 维基百科 ↩︎
Closed Set 维基百科 ↩︎

转载于:https://www.cnblogs.com/robinchen/p/11047536.html

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