深度学习之长短时记忆网络(LSTM)

本文转自《零基础入门深度学习》系列文章,阅读原文请移步这里
之前我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本文中，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后，我们再介绍一种LSTM的变体：GRU (Gated Recurrent Unit)。它的结构比LSTM简单，而效果却和LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。最后，我们仍然会动手实现一个LSTM。

一、长短时记忆网络是啥

我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下《深度学习之循环神经网络(RNN)》中推导的，误差项沿时间反向传播的公式：δkT=δtT∏i=kt−1diag[f′(neti)]W\delta_k^T= \delta_t^T\prod_{i=k}^{t-1}diag[f'(net_i)]WδkT=δtTi=k∏t−1diag[f′(neti)]W我们可以根据下面的不等式，来获取δkT\delta_k^TδkT的模的上界（模可以看做对δkT\delta_k^TδkT中每一项值的大小的度量）：∥δkT∥⩽∥δtT∥∏i=kt−1∥W∥∥diag[f′(neti)]∥\lVert\delta_k^T\rVert\leqslant\lVert\delta_t^T\rVert\prod_{i=k}^{t-1}\lVert W \rVert\lVert diag[f'(net_i)]\rVert∥δkT∥⩽∥δtT∥i=k∏t−1∥W∥∥diag[f′(neti)]∥⩽∥δtT∥(βWβf)t−k\leqslant\lVert\delta_t^T\rVert(\beta_W\beta_f)^{t-k}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space⩽∥δtT∥(βWβf)t−k 我们可以看到，误差项δ\deltaδ从t时刻传递到k时刻，其值的上界是βfβw\beta_f\beta_wβfβw的指数函数。βfβw\beta_f\beta_wβfβw分别是对角矩阵diag[f′(neti)]diag[f'(net_i)]diag[f′(neti)]和矩阵WWW模的上界。显然，除非βfβw\beta_f\beta_wβfβw乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当βfβw\beta_f\beta_wβfβw乘积小于1）或者极大（当βfβw\beta_f\beta_wβfβw乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。

梯度消失到底意味着什么？在《深度学习之循环神经网络(RNN)》中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：∇WE=∑i=1t∇WtE\nabla_{W}E=\sum_{i=1}^t\nabla_{W_t}E\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space∇WE=i=1∑t∇WtE =∇WtE+∇Wt−1E+...+∇W1E\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+...+\nabla_{W_1}E =∇WtE+∇Wt−1E+...+∇W1E假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：
我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。

既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。

其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：

新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：

上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值xt\mathbf{x}_txt、上一时刻LSTM的输出值ht−1\mathbf{h}_{t-1}ht−1、以及上一时刻的单元状态ct−1\mathbf{c}_{t-1}ct−1；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值ht\mathbf{h}_{t}ht、和当前时刻的单元状态ct\mathbf{c}_{t}ct。注意x、h、c\mathbf{x}、\mathbf{h}、\mathbf{c}x、h、c都是向量。

LSTM的关键，就是怎样控制长期状态ccc。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态ccc；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态ccc；第三个开关，负责控制是否把长期状态ccc作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：

接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。

二、长短时记忆网络的前向计算

前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设WWW是门的权重向量，b\mathbf{b}b是偏置项，那么门可以表示为：g(x)=σ(Wx+b)g(x)=\sigma(W\mathbf{x}+\mathbf{b})g(x)=σ(Wx+b)门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为σ\sigmaσ（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。

LSTM用两个门来控制单元状态ccc的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态ct−1\mathbf{c}_{t-1}ct−1有多少保留到当前时刻ct\mathbf{c}_{t}ct；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入xt\mathbf{x}_txt有多少保存到单元状态ct\mathbf{c}_tct。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态ct\mathbf{c}_tct有多少输出到LSTM的当前输出值ht\mathbf{h}_tht。

我们先来看一下遗忘门：ft=σ(Wf⋅[ht−1,xt]+bf)(式1)\mathbf{f}_t=\sigma(W_f·[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_f)\space\space\space\space\space\space(式1)ft=σ(Wf⋅[ht−1,xt]+bf)      (式1)上式中，WfW_fWf是遗忘门的权重矩阵，[ht−1,xt][\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t][ht−1,xt]表示把两个向量连接成一个更长的向量，bf\mathbf{b}_fbf是遗忘门的偏置项，σ\sigmaσ是sigmoid函数。如果输入的维度是dxd_xdx，隐藏层的维度是dhd_hdh，单元状态的维度是dcd_cdc（通常dc=dhd_c=d_hdc=dh），则遗忘门的权重矩阵WfW_fWf维度是dc×(dh+dx)d_c\times (d_h+d_x)dc×(dh+dx)。事实上，权重矩阵WfW_fWf都是两个矩阵拼接而成的：一个是WfhW_{fh}Wfh，它对应着输入项ht−1\mathbf{h}_{t-1}ht−1，其维度为dc×dhd_c\times d_hdc×dh；一个是WfxW_{fx}Wfx，它对应着输入项xt\mathbf{x}_txt，其维度为dc×dxd_c \times d_xdc×dx。WfW_fWf可以写为：[Wf][ht−1xt]=[WfhWfx][ht−1xt][W_f]\begin{bmatrix} \mathbf{h}_{t-1} \\ \mathbf{x}_t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} W_{fh}\space\space W_{fx}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{h}_{t-1} \\ \mathbf{x}_t\end{bmatrix}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space[Wf][ht−1xt]=[Wfh  Wfx][ht−1xt]            =Wfhht−1+Wfxxt\space\space\space\space\space\space\space=W_{fh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{fx}\mathbf{x}_t       =Wfhht−1+Wfxxt下图显示了遗忘门的计算：

接下来看看输入门：
it=σ(Wi⋅[ht−1,xt]+bi)(式2)\mathbf{i}_t=\sigma(W_i·[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_i)\space\space\space\space\space\space(式2)it=σ(Wi⋅[ht−1,xt]+bi)      (式2)上式中，WiW_iWi是输入门的权重矩阵，bi\mathbf{b}_ibi是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：

接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态c~t\tilde \mathbf{c}_tc~t，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：c~t=tanh(Wc⋅[ht−1,xt]+bc)(式3)\tilde \mathbf{c}_t=tanh(W_c·[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t] + \mathbf{b}_c)\space\space\space\space\space\space(式3)c~t=tanh(Wc⋅[ht−1,xt]+bc)      (式3)下图是c~t\tilde \mathbf{c}_tc~t的计算：

现在，我们计算当前时刻的单元状态ct\mathbf{c}_tct。它是由上一次的单元状态ct−1\mathbf{c}_{t-1}ct−1按元素乘以遗忘门ftf_tft，再用当前输入的单元状态c~t\tilde \mathbf{c}_tc~t按元素乘以输入门iti_tit，再将两个积加和产生的：ct=ft∘c−1+it∘c~t(式4)\mathbf{c}_t=f_t\circ \mathbf{c}_{-1}+i_t \circ \tilde \mathbf{c}_t\space\space\space\space\space\space(式4)ct=ft∘c−1+it∘c~t      (式4)符号∘\circ∘表示按元素乘。下图是ct\mathbf{c}_tct的计算：
这样，我们就把LSTM关于当前的记忆c~t\tilde \mathbf{c}_tc~t和长期的记忆ct−1\mathbf{c}_{t-1}ct−1组合在一起，形成了新的单元状态ct\mathbf{c}_tct。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：ot=σ(Wo⋅[ht−1,xt]+bo)(式5)\mathbf{o}_t=\sigma(W_o·[\mathbf{h}_{t-1}, \mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_o)\space\space\space\space\space\space(式5)ot=σ(Wo⋅[ht−1,xt]+bo)      (式5)下图表示输出门的计算：
LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：ht=ot∘tanh(ct)(式6)\mathbf{h}_t=\mathbf{o}_t \circ tanh(\mathbf{c}_t)\space\space\space\space\space\space(式6)ht=ot∘tanh(ct)      (式6)下图表示LSTM最终输出的计算：
(式1)到(式6)就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。

三、长短时记忆网络的训练

熟悉我们这个系列文章的同学都清楚，训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂，那么，可想而知，它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸，再一头扎进公式海洋吧。

LSTM训练算法框架

LSTM的训练算法仍然是反向传播算法，对于这个算法，我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤：

前向计算每个神经元的输出值，对于LSTM来说，即ft、it、ct、ot、ht\mathbf{f}_t、\mathbf{i}_t、\mathbf{c}_t、\mathbf{o}_t、\mathbf{h}_tft、it、ct、ot、ht五个向量的值。计算方法已经在上一节中描述过了。
反向计算每个神经元的误差项δ\deltaδ值。与循环神经网络一样，LSTM误差项的反向传播也是包括两个方向：一个是沿时间的反向传播，即从当前t时刻开始，计算每个时刻的误差项；一个是将误差项向上一层传播。
根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。

关于公式和符号的说明

首先，我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。

接下来的推导中，我们设定gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为：
σ(z)=y=11+e−z\sigma(z)=y=\frac{1}{1+e^{-z}}σ(z)=y=1+e−z1σ′(z)=y(1−y)\sigma'(z)=y(1-y)\space\space\space\space\space\space\space\spaceσ′(z)=y(1−y) tanh(z)=y=ez−e−zez+e−ztanh(z)=y=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}\space\space\space\spacetanh(z)=y=ez+e−zez−e−z tanh′(z)=1−y2tanh'(z)=1-y^2\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\spacetanh′(z)=1−y2 从上面可以看出，sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样，我们一旦计算原函数的值，就可以用它来计算出导数的值。

LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵WfW_fWf和偏置项bf\mathbf{b}_fbf、输入门的权重矩阵WiW_iWi和偏置项bi\mathbf{b}_ibi、输出门的权重矩阵WoW_oWo和偏置项bo\mathbf{b}_obo，以及计算单元状态的权重矩阵WcW_cWc和偏置项bc\mathbf{b}_cbc。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵Wf、Wi、Wo、WcW_f、W_i、W_o、W_cWf、Wi、Wo、Wc都将被写为分开的两个矩阵：Wfh、Wfx、Wih、Wix、Woh、Wox、Wch、WcxW_{fh}、W_{fx}、W_{ih}、W_{ix}、W_{oh}、W_{ox}、W_{ch}、W_{cx}Wfh、Wfx、Wih、Wix、Woh、Wox、Wch、Wcx。

我们解释一下按元素乘∘\circ∘符号。当∘\circ∘作用于两个向量时，运算如下：a∘b=[a1a2a3...an]∘[b1b2b3...bn]=[a1b1a2b2a3b3...anbn]a \circ b=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3\\...\\a_n \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3\\...\\b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 \\ a_2b_2\\ a_3b_3\\...\\a_nb_n \end{bmatrix}a∘b=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2a3...an⎦⎥⎥⎥⎥⎤∘⎣⎢⎢⎢⎢⎡b1b2b3...bn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1b1a2b2a3b3...anbn⎦⎥⎥⎥⎥⎤当∘\circ∘作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：a∘X=[a1a2a3...an]∘[x11x12...x1nx21x22...x2nx31x32...x3n...xn1xn2...xnn]a \circ X = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3\\...\\a_n \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} x_{11} \space\space x_{12} \space...\space x_{1n}\\ x_{21}\space\space x_{22} \space...\space x_{2n}\\ x_{31}\space\space x_{32} \space...\space x_{3n}\\...\\x_{n1}\space\space x_{n2} \space...\space x_{nn} \end{bmatrix} a∘X=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2a3...an⎦⎥⎥⎥⎥⎤∘⎣⎢⎢⎢⎢⎡x11 x12 ... x1nx21 x22 ... x2nx31 x32 ... x3n...xn1 xn2 ... xnn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=[a1x11a1x12...a1x1na2x21a2x22...a2x2na3x31a3x32...a3x3n...anxn1anxn2...anxnn]\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=\begin{bmatrix} a_1x_{11} \space\space a_1x_{12} \space...\space a_1x_{1n}\\ a_2x_{21}\space\space a_2x_{22} \space...\space a_2x_{2n}\\ a_3x_{31}\space\space a_3x_{32} \space...\space a_3x_{3n}\\...\\a_nx_{n1}\space\space a_nx_{n2} \space...\space a_nx_{nn} \end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1x11 a1x12 ... a1x1na2x21 a2x22 ... a2x2na3x31 a3x32 ... a3x3n...anxn1 anxn2 ... anxnn⎦⎥⎥⎥⎥⎤当∘\circ∘作用于两个矩阵时，两个矩阵对应位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情况下简化矩阵和向量运算。例如，当一个对角矩阵右乘一个矩阵时，相当于用对角矩阵的对角线组成的向量按元素乘那个矩阵：diag[a]X=a∘Xdiag[a]X=a \circ Xdiag[a]X=a∘X当一个行向量右乘一个对角矩阵时，相当于这个行向量按元素乘那个矩阵对角线组成的向量：aTdiag[b]=a∘ba^Tdiag[b]=a \circ baTdiag[b]=a∘b上面这两点，在我们后续推导中会多次用到。

在t时刻，LSTM的输出值为ht\mathbf{h}_tht。我们定义t时刻的误差项δt\delta_tδt为：δt=def∂E∂ht\delta_t\overset{def}{=}\frac{\partial E}{\partial \mathbf{h}_t}δt=def∂ht∂E注意，和前面几篇文章不同，我们这里假设误差项是损失函数对输出值的导数，而不是对加权输入nettlnet_t^lnettl的导数。因为LSTM有四个加权输入，分别对应ft、it、ct、ot\mathbf{f}_t、\mathbf{i}_t、\mathbf{c}_t、\mathbf{o}_tft、it、ct、ot，我们希望往上一层传递一个误差项而不是四个。但我们仍然需要定义出这四个加权输入，以及他们对应的误差项。netf,t=Wf[ht−1,xt]+bfnet_{f,t}=W_f[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_fnetf,t=Wf[ht−1,xt]+bf=Wfhht−1+Wfxxt+bf\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=W_{fh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{fx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_f =Wfhht−1+Wfxxt+bfneti,t=Wi[ht−1,xt]+binet_{i,t}=W_i[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_ineti,t=Wi[ht−1,xt]+bi=Wihht−1+Wixxt+bi\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=W_{ih}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ix}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_i =Wihht−1+Wixxt+binetc~,t=Wc[ht−1,xt]+bcnet_{\tilde c,t}=W_c[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_cnetc~,t=Wc[ht−1,xt]+bc=Wchht−1+Wcxxt+bc\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=W_{ch}\mathbf{h}_{t-1}+W_{cx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_c =Wchht−1+Wcxxt+bcneto,t=Wo[ht−1,xt]+bonet_{o,t}=W_o[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_oneto,t=Wo[ht−1,xt]+bo=Wohht−1+Woxxt+bo\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=W_{oh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ox}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_o =Wohht−1+Woxxt+boδf,t=def∂E∂netf,t\delta_{f,t}\overset{def}{=}\frac{\partial E}{\partial net_{f,t}}δf,t=def∂netf,t∂Eδi,t=def∂E∂neti,t\delta_{i,t}\overset{def}{=}\frac{\partial E}{\partial net_{i,t}}δi,t=def∂neti,t∂Eδc~,t=def∂E∂netc~,t\delta_{\tilde c,t}\overset{def}{=}\frac{\partial E}{\partial net_{\tilde c,t}}δc~,t=def∂netc~,t∂Eδo,t=def∂E∂neto,t\delta_{o,t}\overset{def}{=}\frac{\partial E}{\partial net_{o,t}}δo,t=def∂neto,t∂E

误差项沿时间的反向传递

沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项δt−1\delta_{t-1}δt−1。δt−1T=∂E∂ht−1\delta_{t-1}^T=\frac{\partial E}{\partial \mathbf{h}_{t-1}}δt−1T=∂ht−1∂E=∂E∂ht∂ht∂ht−1\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=\frac{\partial E}{\partial \mathbf{h}_{t}}\frac{\partial \mathbf{h}_t}{\partial \mathbf{h}_{t-1}} =∂ht∂E∂ht−1∂ht=δtT∂ht∂ht−1\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=\delta_t^T\frac{\partial \mathbf{h}_t}{\partial \mathbf{h}_{t-1}} =δtT∂ht−1∂ht我们知道，∂ht∂ht−1\frac{\partial \mathbf{h}_t}{\partial \mathbf{h}_{t-1}}∂ht−1∂ht是一个Jacobian矩阵。如果隐藏层h的维度是N的话，那么它就是一个N×NN\times NN×N矩阵。为了求出它，我们列出ht\mathbf{h}_tht的计算公式，即前面的(式6)和(式4)：ht=ot∘tanh(ct)\mathbf{h}_t=\mathbf{o}_t \circ tanh(\mathbf c_t)ht=ot∘tanh(ct)ct=ft∘ct−1+it∘c~t\space\space\space\space\space\space\space\space\space\mathbf c_t=\mathbf{f}_t \circ \space \mathbf c_{t-1}+\mathbf{i}_t\circ \space \tilde \mathbf{c}_t ct=ft∘ ct−1+it∘ c~t显然，ot、ft、it、c~t\mathbf{o}_t、\mathbf{f}_t、\mathbf{i}_t、\mathbf{\tilde{c}}_tot、ft、it、c~t都是ht−1\mathbf{h}_{t-1}ht−1的函数，那么，利用全导数公式可得：
δtT∂ht∂ht−1=δtT∂ht∂ot∂ot∂neto,t∂neto,t∂ht−1+δtT∂ht∂ct∂ct∂ft∂ft∂netf,t∂netf,t∂ht−1+δtT∂ht∂ct∂ct∂it∂it∂neti,t∂neti,t∂ht−1+δtT∂ht∂ct∂ct∂c~t∂c~t∂netc~,t∂netc~,t∂ht−1\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}=\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{o}_t}}\frac{\partial{\mathbf{o}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{f_{t}}}}\frac{\partial{\mathbf{f}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{i_{t}}}}\frac{\partial{\mathbf{i}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{\tilde{c}}_{t}}}\frac{\partial{\mathbf{\tilde{c}}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}δtT∂ht−1∂ht=δtT∂ot∂ht∂neto,t∂ot∂ht−1∂neto,t+δtT∂ct∂ht∂ft∂ct∂netf,t∂ft∂ht−1∂netf,t+δtT∂ct∂ht∂it∂ct∂neti,t∂it∂ht−1∂neti,t+δtT∂ct∂ht∂c~t∂ct∂netc~,t∂c~t∂ht−1∂netc~,t=δo,tT∂neto,t∂ht−1+δf,tT∂netf,t∂ht−1+δi,tT∂neti,t∂ht−1+δc~,tT∂netc~,t∂ht−1(式7)=\delta_{o,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{f,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{i,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{\tilde{c},t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\qquad\quad(式7)=δo,tT∂ht−1∂neto,t+δf,tT∂ht−1∂netf,t+δi,tT∂ht−1∂neti,t+δc~,tT∂ht−1∂netc~,t(式7)下面，我们要把(式7)中的每个偏导数都求出来。根据(式6)，我们可以求出：∂ht∂ot=diag[tanh⁡(ct)]\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{o}_t}}=diag[\tanh(\mathbf{c}_t)]∂ot∂ht=diag[tanh(ct)]∂ht∂ct=diag[ot∘(1−tanh⁡(ct)2)]\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}=diag[\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)] ∂ct∂ht=diag[ot∘(1−tanh(ct)2)]根据(式4)，我们可以求出：∂ct∂ft=diag[ct−1]\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{f_{t}}}}=diag[\mathbf{c}_{t-1}]∂ft∂ct=diag[ct−1]∂ct∂it=diag[c~t]\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{i_{t}}}}=diag[\mathbf{\tilde{c}}_t]\space\space\space∂it∂ct=diag[c~t] ∂ct∂c~t=diag[it]\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{\tilde{c}_{t}}}}=diag[\mathbf{i}_t]\space\space\space\space∂c~t∂ct=diag[it] 因为：ot=σ(neto,t)\mathbf{o}_t=\sigma(\mathbf{net}_{o,t})\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\spaceot=σ(neto,t) neto,t=Wohht−1+Woxxt+bo\mathbf{net}_{o,t}=W_{oh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ox}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_oneto,t=Wohht−1+Woxxt+boft=σ(netf,t)\mathbf{f}_t=\sigma(\mathbf{net}_{f,t})\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\spaceft=σ(netf,t) netf,t=Wfhht−1+Wfxxt+bf\mathbf{net}_{f,t}=W_{fh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{fx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_fnetf,t=Wfhht−1+Wfxxt+bfit=σ(neti,t)\mathbf{i}_t=\sigma(\mathbf{net}_{i,t})\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\spaceit=σ(neti,t) neti,t=Wihht−1+Wixxt+bi\mathbf{net}_{i,t}=W_{ih}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ix}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_ineti,t=Wihht−1+Wixxt+bic~t=tanh⁡(netc~,t)\mathbf{\tilde{c}}_t=\tanh(\mathbf{net}_{\tilde{c},t})\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\spacec~t=tanh(netc~,t) netc~,t=Wchht−1+Wcxxt+bc\mathbf{net}_{\tilde{c},t}=W_{ch}\mathbf{h}_{t-1}+W_{cx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_cnetc~,t=Wchht−1+Wcxxt+bc我们很容易得出：∂ot∂neto,t=diag[ot∘(1−ot)]\frac{\partial{\mathbf{o}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}=diag[\mathbf{o}_t\circ(1-\mathbf{o}_t)]∂neto,t∂ot=diag[ot∘(1−ot)]∂neto,t∂ht−1=Woh\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}=W_{oh}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space∂ht−1∂neto,t=Woh ∂ft∂netf,t=diag[ft∘(1−ft)]\frac{\partial{\mathbf{f}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}=diag[\mathbf{f}_t\circ(1-\mathbf{f}_t)]∂netf,t∂ft=diag[ft∘(1−ft)]∂netf,t∂ht−1=Wfh\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h}_{t-1}}}=W_{fh}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space∂ht−1∂netf,t=Wfh ∂it∂neti,t=diag[it∘(1−it)]\frac{\partial{\mathbf{i}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}=diag[\mathbf{i}_t\circ(1-\mathbf{i}_t)]∂neti,t∂it=diag[it∘(1−it)]∂neti,t∂ht−1=Wih\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h}_{t-1}}}=W_{ih}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space∂ht−1∂neti,t=Wih ∂c~t∂netc~,t=diag[1−c~t2]\frac{\partial{\mathbf{\tilde{c}}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}=diag[1-\mathbf{\tilde{c}}_t^2]\space\space\space\space\space\space\space\space∂netc~,t∂c~t=diag[1−c~t2] ∂netc~,t∂ht−1=Wch\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h}_{t-1}}}=W_{ch}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space∂ht−1∂netc~,t=Wch 将上述偏导数带入到（式7），我们得到：δt−1=δo,tT∂neto,t∂ht−1+δf,tT∂netf,t∂ht−1+δi,tT∂neti,t∂ht−1+δc~,tT∂netc~,t∂ht−1\delta_{t-1}=\delta_{o,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{f,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{i,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{\tilde{c},t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}δt−1=δo,tT∂ht−1∂neto,t+δf,tT∂ht−1∂netf,t+δi,tT∂ht−1∂neti,t+δc~,tT∂ht−1∂netc~,t=δo,tTWoh+δf,tTWfh+δi,tTWih+δc~,tTWch(式8)\space\space\space\space\space=\delta_{o,t}^T W_{oh} +\delta_{f,t}^TW_{fh} +\delta_{i,t}^TW_{ih} +\delta_{\tilde{c},t}^TW_{ch}\qquad\quad(式8) =δo,tTWoh+δf,tTWfh+δi,tTWih+δc~,tTWch(式8)根据δo,t、δf,t、δi,t、δc~,t\delta_{o,t}、\delta_{f,t}、\delta_{i,t}、\delta_{\tilde{c},t}δo,t、δf,t、δi,t、δc~,t的定义，可知：δo,tT=δtT∘tanh⁡(ct)∘ot∘(1−ot)(式9)\delta_{o,t}^T=\delta_t^T\circ\tanh(\mathbf{c}_t)\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\mathbf{o}_t)\qquad\quad(式9)\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\spaceδo,tT=δtT∘tanh(ct)∘ot∘(1−ot)(式9) δf,tT=δtT∘ot∘(1−tanh⁡(ct)2)∘ct−1∘ft∘(1−ft)(式10)\space\space\space \delta_{f,t}^T=\delta_t^T\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)\circ\mathbf{c}_{t-1}\circ\mathbf{f}_t\circ(1-\mathbf{f}_t)\qquad(式10) δf,tT=δtT∘ot∘(1−tanh(ct)2)∘ct−1∘ft∘(1−ft)(式10)δi,tT=δtT∘ot∘(1−tanh⁡(ct)2)∘c~t∘it∘(1−it)(式11)\space\space\space \delta_{i,t}^T=\delta_t^T\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)\circ\mathbf{\tilde{c}}_t\circ\mathbf{i}_t\circ(1-\mathbf{i}_t)\qquad\quad(式11) δi,tT=δtT∘ot∘(1−tanh(ct)2)∘c~t∘it∘(1−it)(式11)δc~,tT=δtT∘ot∘(1−tanh⁡(ct)2)∘it∘(1−c~2)(式12)\delta_{\tilde{c},t}^T=\delta_t^T\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)\circ\mathbf{i}_t\circ(1-\mathbf{\tilde{c}}^2)\qquad\quad(式12)\space\space\space\spaceδc~,tT=δtT∘ot∘(1−tanh(ct)2)∘it∘(1−c~2)(式12) (式8)到(式12)就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：δkT=∏j=kt−1δo,jTWoh+δf,jTWfh+δi,jTWih+δc~,jTWch(式13)\delta_k^T=\prod_{j=k}^{t-1}\delta_{o,j}^TW_{oh} +\delta_{f,j}^TW_{fh} +\delta_{i,j}^TW_{ih} +\delta_{\tilde{c},j}^TW_{ch}\qquad\quad(式13)δkT=j=k∏t−1δo,jTWoh+δf,jTWfh+δi,jTWih+δc~,jTWch(式13)

将误差项传递到上一层

我们假设当前为第lll层，定义l−1l-1l−1层的误差项是误差函数对l−1l-1l−1层加权输入的导数，即：δtl−1=def∂Enettl−1\delta_t^{l-1}\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\mathbf{net}_t^{l-1}}δtl−1=defnettl−1∂E本次LSTM的输入xtx_txt由下面的公式计算：xtl=fl−1(nettl−1)\mathbf{x}_t^l=f^{l-1}(\mathbf{net}_t^{l-1})xtl=fl−1(nettl−1)上式中，fl−1f^{l-1}fl−1表示第l−1l-1l−1层的激活函数。

因为netf,tl、neti,tl、netc~,tl、neto,tl\mathbf{net}_{f,t}^l、\mathbf{net}_{i,t}^l、\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l、\mathbf{net}_{o,t}^lnetf,tl、neti,tl、netc~,tl、neto,tl都是xtx_txt的函数，xtx_txt又是nettl−1net_t^{l-1}nettl−1的函数，因此，要求出EEE对nettl−1net_t^{l-1}nettl−1的导数，就需要使用全导数公式：∂E∂nettl−1=∂E∂netf,tl∂netf,tl∂xtl∂xtl∂nettl−1+∂E∂neti,tl∂neti,tl∂xtl∂xtl∂nettl−1+∂E∂netc~,tl∂netc~,tl∂xtl∂xtl∂nettl−1+∂E∂neto,tl∂neto,tl∂xtl∂xtl∂nettl−1\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_t^{l-1}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{f,t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{f,t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}} +\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{i,t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{i,t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}} +\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}} +\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{o,t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{o,t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}}∂nettl−1∂E=∂netf,tl∂E∂xtl∂netf,tl∂nettl−1∂xtl+∂neti,tl∂E∂xtl∂neti,tl∂nettl−1∂xtl+∂netc~,tl∂E∂xtl∂netc~,tl∂nettl−1∂xtl+∂neto,tl∂E∂xtl∂neto,tl∂nettl−1∂xtl=δf,tTWfx∘f′(nettl−1)+δi,tTWix∘f′(nettl−1)+δc~,tTWcx∘f′(nettl−1)+δo,tTWox∘f′(nettl−1)=\delta_{f,t}^TW_{fx}\circ f'(\mathbf{net}_t^{l-1})+\delta_{i,t}^TW_{ix}\circ f'(\mathbf{net}_t^{l-1})+\delta_{\tilde{c},t}^TW_{cx}\circ f'(\mathbf{net}_t^{l-1})+\delta_{o,t}^TW_{ox}\circ f'(\mathbf{net}_t^{l-1})=δf,tTWfx∘f′(nettl−1)+δi,tTWix∘f′(nettl−1)+δc~,tTWcx∘f′(nettl−1)+δo,tTWox∘f′(nettl−1)=(δf,tTWfx+δi,tTWix+δc~,tTWcx+δo,tTWox)∘f′(nettl−1)(式14)=(\delta_{f,t}^TW_{fx}+\delta_{i,t}^TW_{ix}+\delta_{\tilde{c},t}^TW_{cx}+\delta_{o,t}^TW_{ox})\circ f'(\mathbf{net}_t^{l-1})\qquad\quad(式14)=(δf,tTWfx+δi,tTWix+δc~,tTWcx+δo,tTWox)∘f′(nettl−1)(式14)(式14)就是将误差传递到上一层的公式。

权重梯度的计算

对于Wft、Wih、Wch、WohW_{ft}、W_{ih}、W_{ch}、W_{oh}Wft、Wih、Wch、Woh的权重梯度，我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和（证明过程请参考文章《深度学习之循环神经网络(RNN)》），我们首先求出它们在t时刻的梯度，然后再求出他们最终的梯度。

我们已经求得了误差项δo,t、δf,t、δi,t、δc~,t\delta_{o,t}、\delta_{f,t}、\delta_{i,t}、\delta_{\tilde c,t}δo,t、δf,t、δi,t、δc~,t，很容易求出t时刻的Woh、Wih、Wfh、WchW_{oh}、W_{ih}、W_{fh}、W_{ch}Woh、Wih、Wfh、Wch：∂E∂Woh,t=∂E∂neto,t∂neto,t∂Woh,t\frac{\partial{E}}{\partial{W_{oh,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{W_{oh,t}}}∂Woh,t∂E=∂neto,t∂E∂Woh,t∂neto,t=δo,tht−1T=\delta_{o,t}\mathbf{h}_{t-1}^T=δo,tht−1T∂E∂Wfh,t=∂E∂netf,t∂netf,t∂Wfh,t\frac{\partial{E}}{\partial{W_{fh,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{W_{fh,t}}}∂Wfh,t∂E=∂netf,t∂E∂Wfh,t∂netf,t=δf,tht−1T=\delta_{f,t}\mathbf{h}_{t-1}^T=δf,tht−1T∂E∂Wih,t=∂E∂neti,t∂neti,t∂Wih,t\frac{\partial{E}}{\partial{W_{ih,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{W_{ih,t}}}∂Wih,t∂E=∂neti,t∂E∂Wih,t∂neti,t=δi,tht−1T=\delta_{i,t}\mathbf{h}_{t-1}^T=δi,tht−1T∂E∂Wch,t=∂E∂netc~,t∂netc~,t∂Wch,t\frac{\partial{E}}{\partial{W_{ch,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{W_{ch,t}}}∂Wch,t∂E=∂netc~,t∂E∂Wch,t∂netc~,t=δc~,tht−1T=\delta_{\tilde{c},t}\mathbf{h}_{t-1}^T=δc~,tht−1T将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：∂E∂Woh=∑j=1tδo,jhj−1T\frac{\partial{E}}{\partial{W_{oh}}}=\sum_{j=1}^t\delta_{o,j}\mathbf{h}_{j-1}^T∂Woh∂E=j=1∑tδo,jhj−1T∂E∂Wfh=∑j=1tδf,jhj−1T\frac{\partial{E}}{\partial{W_{fh}}}=\sum_{j=1}^t\delta_{f,j}\mathbf{h}_{j-1}^T∂Wfh∂E=j=1∑tδf,jhj−1T∂E∂Wih=∑j=1tδi,jhj−1T\frac{\partial{E}}{\partial{W_{ih}}}=\sum_{j=1}^t\delta_{i,j}\mathbf{h}_{j-1}^T∂Wih∂E=j=1∑tδi,jhj−1T∂E∂Wch=∑j=1tδc~,jhj−1T\frac{\partial{E}}{\partial{W_{ch}}}=\sum_{j=1}^t\delta_{\tilde{c},j}\mathbf{h}_{j-1}^T∂Wch∂E=j=1∑tδc~,jhj−1T对于偏置项bf、bi、bc、bo\mathbf{b}_f、\mathbf{b}_i、\mathbf{b}_c、\mathbf{b}_obf、bi、bc、bo的梯度，也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度：∂E∂bo,t=∂E∂neto,t∂neto,t∂bo,t\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{o,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{b}_{o,t}}}∂bo,t∂E=∂neto,t∂E∂bo,t∂neto,t=δo,t=\delta_{o,t}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=δo,t ∂E∂bf,t=∂E∂netf,t∂netf,t∂bf,t\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{f,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{b}_{f,t}}}∂bf,t∂E=∂netf,t∂E∂bf,t∂netf,t=δf,t=\delta_{f,t}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=δf,t ∂E∂bi,t=∂E∂neti,t∂neti,t∂bi,t\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{i,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{b}_{i,t}}}∂bi,t∂E=∂neti,t∂E∂bi,t∂neti,t=δi,t=\delta_{i,t}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=δi,t ∂E∂bc,t=∂E∂netc~,t∂netc~,t∂bc,t\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{c,t}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{b}_{c,t}}}∂bc,t∂E=∂netc~,t∂E∂bc,t∂netc~,t=δc~,t=\delta_{\tilde{c},t}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space=δc~,t 下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：∂E∂bo=∑j=1tδo,j\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_o}}=\sum_{j=1}^t\delta_{o,j}∂bo∂E=j=1∑tδo,j∂E∂bi=∑j=1tδi,j\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_i}}=\sum_{j=1}^t\delta_{i,j}∂bi∂E=j=1∑tδi,j∂E∂bf=∑j=1tδf,j\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_f}}=\sum_{j=1}^t\delta_{f,j}∂bf∂E=j=1∑tδf,j∂E∂bc=∑j=1tδc~,j\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_c}}=\sum_{j=1}^t\delta_{\tilde{c},j}∂bc∂E=j=1∑tδc~,j对于Wfx、Wix、Wcx、WoxW_{fx}、W_{ix}、W_{cx}、W_{ox}Wfx、Wix、Wcx、Wox的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：∂E∂Wox=∂E∂neto,t∂neto,t∂Wox\frac{\partial{E}}{\partial{W_{ox}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{W_{ox}}}∂Wox∂E=∂neto,t∂E∂Wox∂neto,t=δo,txtT=\delta_{o,t}\mathbf{x}_{t}^T\space\space\space\space\space=δo,txtT ∂E∂Wfx=∂E∂netf,t∂netf,t∂Wfx\frac{\partial{E}}{\partial{W_{fx}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{W_{fx}}}∂Wfx∂E=∂netf,t∂E∂Wfx∂netf,t=δf,txtT=\delta_{f,t}\mathbf{x}_{t}^T\space\space\space\space\space=δf,txtT ∂E∂Wix=∂E∂neti,t∂neti,t∂Wix\frac{\partial{E}}{\partial{W_{ix}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{W_{ix}}}∂Wix∂E=∂neti,t∂E∂Wix∂neti,t=δi,txtT=\delta_{i,t}\mathbf{x}_{t}^T\space\space\space\space\space=δi,txtT ∂E∂Wcx=∂E∂netc~,t∂netc~,t∂Wcx\frac{\partial{E}}{\partial{W_{cx}}}=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{W_{cx}}}∂Wcx∂E=∂netc~,t∂E∂Wcx∂netc~,t=δc~,txtT=\delta_{\tilde{c},t}\mathbf{x}_{t}^T\space\space\space\space\space=δc~,txtT
以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式，仔细看看，会发觉并不是太复杂。

当然，LSTM存在着相当多的变体，读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法，因此理解这些变体比较容易，因此本文就不再赘述了。

四、GRU

前面我们讲了一种普通的LSTM，事实上LSTM存在很多变体，许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中，**GRU (Gated Recurrent Unit)**也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化，同时却保持着和LSTM相同的效果。因此，GRU最近变得越来越流行。

GRU对LSTM做了两个大改动：

将输入门、遗忘门、输出门变为两个门：更新门（Update Gate）zt\mathbf{z}_tzt和重置门（Reset Gate）rt\mathbf{r}_trt。
将单元状态与输出合并为一个状态：h\mathbf{h}h。

GRU的前向计算公式为：zt=σ(Wz⋅[ht−1,xt])\mathbf{z}_t=\sigma(W_z\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t])zt=σ(Wz⋅[ht−1,xt])rt=σ(Wr⋅[ht−1,xt])\mathbf{r}_t=\sigma(W_r\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t])rt=σ(Wr⋅[ht−1,xt])h~t=tanh⁡(W⋅[rt∘ht−1,xt])\mathbf{\tilde{h}}_t=\tanh(W\cdot[\mathbf{r}_t\circ\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t])h~t=tanh(W⋅[rt∘ht−1,xt])h=(1−zt)∘ht−1+zt∘h~t\mathbf{h}=(1-\mathbf{z}_t)\circ\mathbf{h}_{t-1}+\mathbf{z}_t\circ\mathbf{\tilde{h}}_th=(1−zt)∘ht−1+zt∘h~t下图是GRU的示意图：
GRU的训练算法比LSTM简单一些，留给读者自行推导，本文就不再赘述了。

五、小结

至此，LSTM——也许是结构最复杂的一类神经网络——就讲完了，相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧！现在我们已经了解循环神经网络和它最流行的变体——LSTM，它们都可以用来处理序列。但是，有时候仅仅拥有处理序列的能力还不够，还需要处理比序列更为复杂的结构（比如树结构），这时候就需要用到另外一类网络：递归神经网络(Recursive Neural Network)，巧合的是，它的缩写也是RNN。