九校联考-DL24 凉心模拟 Day1T3 三米诺 (tromino)

题目描述

金企鹅同学非常擅长用 1×21×21×2 的多米诺骨牌覆盖棋盘的题。有一天，正在背四六级单词的他忽然想：既然两个格子的积木叫“多米诺 (domino)”，那么三个格子的的积木一定叫“三米诺 (tromino)”了！用三米诺覆盖棋盘的题怎么做呢？

用三米诺覆盖 3×n3×n3×n 的矩形棋盘，共多少种方案？三米诺可旋转；两种方案不同当且仅当这两种图案直接覆盖在一起无法重叠。

例如 n=2n=2n=2 时，共 333 种方案：

输入输出格式

输入格式

一行一个整数 n(n≤1040000)n(n≤10^{40000})n(n≤1040000)，表示棋盘列数。

输出格式

一行一个整数，表示方案数，对 998244353998244353998244353 取模。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

输出样例#2：

输入样例#3：

输出样例#3：

543450786

解题分析

我们手玩一波样例，考虑新一行第iii行从前面某一行完整地转移过来（即是两个矩形拼接到一起的形式）

从i−1i-1i−1行转移：只可能是下面这种情况，所以dp[i]+=dp[i−1]dp[i]+=dp[i-1]dp[i]+=dp[i−1]：
从第i−2i-2i−2行转移：如果放竖着的可以归纳到i−1i-1i−1行中，我们不再计算。于是有下面两种情况：

然后我们发现似乎这个可以引出更多的转移：

（对称的并没有画出来）

类似这样的我们同一归到从i−(3n+2)i-(3n+2)i−(3n+2)行转移中，这样我们可以维护一个sum[3]sum[3]sum[3]记录下标mod3mod\ 3mod 3分别等于0,1,20,1,20,1,2的答案的前缀和。这样的话dp[i]+=2×sum[(i−2)mod3]dp[i]+=2\times sum[(i-2)\ mod \ 3]dp[i]+=2×sum[(i−2) mod 3]。
从第i−3i-3i−3行转移，这样可以引出这样一类，有四种同构：

即从i−3ni-3ni−3n行转移，这样的话dp[i]+=sum[imod3]dp[i]+=sum[i\ mod\ 3]dp[i]+=sum[i mod 3]

我们发现似乎sum[(i−1)mod3]sum[(i - 1)\ mod\ 3]sum[(i−1) mod 3]没有用到，于是再画图就可以发现有这样一种情况：

当然这样也会有对称的情况，但我们发现从i−1i-1i−1转移的情况也包含在了这个前缀和里面，而它只能算一次，所以我们最后需要减掉。

当然从i−3i-3i−3转移还有一种特殊情况：

这个单独算上就好了。

最后的dpdpdp方程就是：
dp[i]=−dp[i−1]+sum[(i−1)mod3]×2+dp[i−3]+sum[imod3]×4+sum[(i−2)mod3]×2dp[i]=-dp[i-1]+sum[(i-1)\ mod\ 3]\times 2+dp[i-3]+sum[i\ mod\ 3]\times 4+sum[(i-2)\ mod\ 3]\times 2 dp[i]=−dp[i−1]+sum[(i−1) mod 3]×2+dp[i−3]+sum[i mod 3]×4+sum[(i−2) mod 3]×2
套上一个矩阵，十进制快速幂，完美ACACAC。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MOD 998244353
struct Matrix
{ll mat[6][6];void clear() {std::memset(mat, 0, sizeof(mat));}
}base, res, ans;
IN Matrix operator * (const Matrix &x, const Matrix &y)
{Matrix ret; ret.clear();for (R int i = 0; i < 6; ++i)for (R int j = 0; j < 6; ++j)for (R int k = 0; k < 6; ++k)ret.mat[i][k] = ret.mat[i][k] + 1ll * x.mat[i][j] * y.mat[j][k];for (R int i = 0; i < 6; ++i)for (R int j = 0; j < 6; ++j) ret.mat[i][j] %= MOD;return ret;
}
char buf[40050];
int len;
IN void True_fpow(Matrix &tar, Matrix res, R int tm)
{W (tm){if(tm & 1) tar = tar * res;res = res * res; tm >>= 1;}
}
IN void fpow()
{Matrix emp = base, unit = base;for (R int i = len; i; --i){True_fpow(base, res, buf[i] - '0');unit = emp;True_fpow(unit, res, 10);res = unit;}
}
void dealit()
{R int pos = len;if(buf[pos] >= '2') return buf[pos] -= 2, void();--pos; W (buf[pos] == '0') --pos;--buf[pos]; for (R int i = pos + 1; i < len; ++i) buf[i] = '9';buf[len] += 8;
}
int main(void)
{res = (Matrix){ -1, 0, 1, 4, 2, 2,//转移矩阵1, 0, 0, 0, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 1, 0,0, 0, 0, 0, 0, 1,-1, 0, 1, 5, 2, 2};base = (Matrix){1, 0, 0, 0, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 0,0, 0, 1, 0, 0, 0,0, 0, 0, 1, 0, 0,0, 0, 0, 0, 1, 0,0, 0, 0, 0, 0, 1};//初始状态ans = (Matrix){ 3, 0, 0, 0, 0, 0,//dp[2]1, 0, 0, 0, 0, 0,//dp[1]1, 0, 0, 0, 0, 0,//dp[0]1, 0, 0, 0, 0, 0,//sum[0]1, 0, 0, 0, 0, 0,//sum[1]3, 0, 0, 0, 0, 0};//sum[2]scanf("%s", buf + 1); len = std::strlen(buf + 1);if(len == 1 && buf[1] == '1') return puts("1"), 0;if(len == 1 && buf[1] == '2') return puts("3"), 0;dealit();fpow();printf("%d", ((base * ans).mat[0][0] + MOD) % MOD);
}