面试算法-青蛙跳台阶问题（JAVA实现）

题干

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

数据范围：0<= n <=40
要求：时间复杂度：O(n) ，空间复杂度O(1)。

解题思路

首先，这是一道经典的DP（动态规划）问题，动态规划是通过组合子问题的解而解决整个问题的。动态规划通常应用于最优化问题。其解法类似于我们在数学中学过的归纳法：

1. 描述最优解的结构
2. 递归定义最优解的值
3. 按自底向上的方式计算最优解的值
- 摘自《算法导论》

OK，理论讲完了，我们来分析一下这个青蛙跳台阶的问题，青蛙要跳上n级的台阶有两种情况，情况1是青蛙先跳到了（n-2）级台阶，然后又跳了2级；情况2是青蛙先跳到了（n-1）级台阶，然后又跳了1级。那么这个问题就拆解为了青蛙跳到n-2级台阶有几种跳法和青蛙跳到n-1级台阶有几种跳法两个子问题，即f(n)=f(n-1) + f(n-2)，以此递归，直到f(2)和f(1)，这两个的解我们是已知的。

显然，我们可以用递归的方式来写很快实现此功能，见示例代码1，但是递归的解法显然不满足题干里时间复杂度O(n)的要求，显然很多值我们需要重复计算，比如计算f(5)的解，我们需要先计算f(4)和f(3)的解，计算f(4)的时候又需要计算f(3)和f(2)的解，那么f(3)就被计算了两次。当然，聪明的你肯定能想出使用一个数组或map来保存第一次得到的结果，下次需要的时候直接就取出来用的方法，可以避免重复计算，见示例代码2，可这又违背了题干中空间复杂度O（1）的要求。

那怎么办呢？上面说了，我们可以使用自底向上的计算方式，即循环遍历，先计算出f(3)，然后计算f(4)，以此类推，不需要额外的存储空间。这一解法让我不禁想起金庸小说里的一招轻功“武当梯云纵”，就是不断的左脚踩右脚，哈哈~~

示例代码

常规递归解法

public class Solution {public int jumpFloor(int target) {if(target == 1) return 1;if(target == 2) return 2;return jumpFloor(target -1) + jumpFloor(target -2);}
}

保存中间结果

public class Solution {Map<Integer,Integer> tmpMap = new HashMap<>();public int jumpFloor(int target) {if(tmpMap.containsKey(target)) return tmpMap.get(target);if(target == 1) return 1;if(target == 2) return 2;int result = jumpFloor(target -1) + jumpFloor(target -2);tmpMap.put(target,result);return result;}
}

最终解法

public class Solution {public int jumpFloor(int target) {int a=1,b=1,c=0;for(int i=2;i<=target;i++){c = a + b;a = b;b = c;} return c;}
}

延伸拓展

相关问题变种，总之就是魔鬼青蛙各种跳：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上m级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?

看看你能不能找到那个递归公式吧~~