Krylov子空间迭代

Krylov子空间迭代法是很好的特征值计算方法。通过子空间迭代，把大型模态空间降阶到几十阶，大大简化了模态计算量。这需要我们对模态空间和子空间的物理意义要有准确的理解。

Krylov——“降维打击”
假设你有一个线性方程组：

Ax=b

其中A是已知矩阵，b是已知向量，x是需要求解的未知向量。

当你有这么个问题需要解决时，一般的思路是直接求A的逆矩阵：x= A − 1 A^{-1} A−1b
但是，如果A的维度很高，比方说n=10000，那么A就是一个大型矩阵，是很难求逆的，且A如果还是一个稀疏矩阵，那就更难求了。
这时Krylov想到了一种方法来替换A的逆：

A − 1 A^{-1} A−1b ≈ ∑ i = 0 m − 1 \displaystyle\sum_{i=0}^{m-1} i=0∑m−1 β i \mathbf{β}_i βi A i A^i Aib = β 0 \mathbf{β}_0 β0b + β 1 \mathbf{β}_1 β1Ab + β 2 \mathbf{β}_2 β2A²b…+ β m − 1 \mathbf{β}_{m-1} βm−1 A m − 1 A^{m-1} Am−1b

其中β是未知标量，m是假设的一个值，最大不能超过矩阵的维度n

这样处理就不用求出 A − 1 A^{-1} A−1，只要求出方程里那些β的值就好了

（Krylov通过数学上的推导证明了，当m趋近于矩阵维度n时算出来的值就是精确解。）

Krylov子空间迭代n步之后基向量将逐渐接近而线性相关，失去正交性。为构造残差最小，需要正交化Krylov子空间的基向量，采用Gram–Schmidt process 正交。这样构造的Krylov子空间迭代法，有个专门的称谓：Arnoldi 迭代。

解出β的值代入第一个公式得到：

0 = b - A x m x^{m} xm = b - A ∑ i = 0 m − 1 \displaystyle\sum_{i=0}^{m-1} i=0∑m−1 β i \mathbf{β}_i βi A i A^i Aib

b的维度是n，那就是有n个方程，但是β的数量小于n. 这种情况我们无法精确求解，只能求近似解。我们观察了一下这个方程，正好就是线性的，那么就可以用最小二乘法。

令

r m r^{m} rm = b - A x m x^{m} xm

这里r(m)是指当m为m时的残量。从第一个公式可以看出，如果我们最终得出的x完全精确，那么r应该等于0. 于是现在问题转变为求一个含有多个自变量的表达式的最小值问题。
含有多个自变量的表达式的最小值问题，可以用最小二乘法来解决，核心为以下公式：

∂ r ∂ β 0 \frac{\partial{r}}{\partial\mathbf{β}_0} ∂β0∂r = 0 ∂ r ∂ β 1 \frac{\partial{r}}{\partial\mathbf{β}_1} ∂β1∂r = 0 ∂ r ∂ β 2 \frac{\partial{r}}{\partial\mathbf{β}_2} ∂β2∂r = 0 ∂ r ∂ β 3 \frac{\partial{r}}{\partial\mathbf{β}_3} ∂β3∂r = 0,… ∂ r ∂ β m − 1 \frac{\partial{r}}{\partial\mathbf{β}_m-1} ∂βm−1∂r = 0

(提醒，这里的r指的是 r m r^{m} rm的平方和）
即r为最小值的时候，r关于所有变量的偏导都应当为0。
于是问题转化为了一个求m个方程m个未知数的方程组的问题

回顾一下大概就是：
大型稀疏矩阵求逆–>Krylov方法–>线性方程最小二乘问题–>小矩阵求逆

Krylov子空间迭代相关推荐

基础数学（七）——线性方程组的数值解法
文章目录考试要求基础知识一般求解思路消元法高斯消元法小主元导致的计算失误高斯列主元素消去法(期末考试要求之一) 高斯消元法例题(期末必考) 高斯消元法的优缺点减少fill-in现象(了 ...
大型稀疏线性方程组求解技术——工业仿真的底层核心
背景在工业仿真领域,对各种现实世界的问题进行数值模拟时,如流体动力学分析.电磁场仿真.结构力学应力应变分析等,其控制方程通常是偏微分方程组,在经过不同方法的隐式离散之后最终都可转化为大型稀疏线性 ...
JFNK（Jacobian-free Newton-Krylov）方法
有人会问:非线性方程组不是用Newton循环方法就能解了吗?那为什么还需要JFNK方法呢? 我觉得,JFNK方法能解决Newton循环方法中最大的计算问题,让Newton循环方法不再痛苦. Newto ...
krylov子空间迭代法
krylov子空间迭代法_lizhengjiang的博客-CSDN博客_krylov子空间如何使用Krylov方法求解矩阵的运算尤其是逆? - 知乎
【高等数值分析】Krylov子空间方法
文章目录 1. 预备理论 1.1 Krylov 子空间 1.2 最佳逼近 1.2.1 方法一:最佳平方逼近 1.2.2 方法二:假设 AAA 对称正定 1.2.3 方法三:残差2范数 2. 基底正交化 ...
其他krylov子空间方法
其他krylov子空间方法 1.krylov子空间 K(A,q,k)=span{q,Aq,...,Ak−1q}K(A,q,k) = span\left \{q,Aq,...,A^{k-1}q\righ ...
关于（广义）代数特征值问题的一点注记
关于(广义)代数特征值问题的一点注记感谢王同学和王同学提供的一些信息和资料. 文章目录关于(广义)代数特征值问题的一点注记常用特征值计算方法概述对称特征值问题非对称特征值问题 Krylov ...
GPU加速库AmgX
GPU加速库AmgX AmgX提供了一条简单的途径来加速NVIDIA GPU上的核心求解器技术.AmgX可以为模拟的计算密集型线性求解器部分提供高达10倍的加速度,特别适合于隐式非结构化方法. 它是一 ...
矩阵相关概念的物理意义
参考链接: 矩阵乘法的本质是什么? 条件数病态矩阵与条件数(&& 与特征值和SVD的关系) 矩阵的物理意义: https://blog.csdn.net/NightkidLi_911 ...

Krylov子空间迭代

Krylov子空间迭代相关推荐

最新文章

热门文章