前言：本文主要介绍如何以效用最大化理论为基础，推导出二项 Logit(Binary Logit)模型。

本文为系列离散选择模型(Discrete Choice Model, DCM)系列文章的第8篇。

温馨提示：阅读本文之前，请准备好纸、笔、以及小板凳。自己动手推导一遍有助于理解。

Probit模型的建模过程回顾

在《效用最大化准则：离散选择模型的核心(Probit篇)——离散选择模型之七》一文中，我们基于效用最大化理论给出了二项Probit模型的推导过程。简单回顾一下建模的过程：假设对于决策主体n面临两个备选方案i和j

方案i的效用

可以表示为可以观测得到的、确定性的部分

和一个随机项

之和：

(1)类似地，方案j的效用

可以表示为：

(2)对于决策主体 n 而言，若方案 i 的效用

高于方案 j 的效用

，则 n 选取方案 i 。也就是说，n 选择方案 i 的概率

等价于事件

发生的概率：

(3)如果令

和

服从均值为0、方差为

和

的正态分布，则

服从均值为0、方差为

的正态分布。在此基础上，便可以推导出Probit模型的表达形式如下面的(4)式所示。其中，

表示标准正态分布的累积分布函数。

(4)

Probit模型的特点

从建模的角度来说，Probit模型假设随机项

和

服从正态分布，这具有一定的合理的——也是其优点；但是Probit模型没有闭合解——每次算

的值的时候都需要求积分，这就给实际应用造成了一定的不便。

为解决这一问题，研究者提出，若假设随机项

和

服从Gumbel分布(而非上面提到的正态分布)，就可以得到一个性质和Probit模型类型、但解析更为方便的模型——这就是二项Logit模型。Fig.1. 标准正态分布的累积分布函数

Gumbel分布

Gumbel分布是一种极值型分布，常被用于极端事件的估计和预测。比如某水文站，每天观测某条河道的水位，连续观测了50年；如果单独对河道每年的最高水位进行建模，就可以考虑用Gumbel分布。除此之位，Gumbel分布还被应用于地震、洪水等极端自然灾害现象的预测。

记参数为的

、

的Gumbel分布为

，其概率密度函数(PDF)可以表示为：

(5)

下图2显示了当参数

和

取不同的值时，

所对应的概率密度函数的图形。从图中可以看出，

是位置系数(Gumbel分布的众数是

)，

是尺度系数——与Gumbel分布的离散性有关(Gumbel分布的方差是

)。Fig.2. Gumbel分布

、

时所对应的Gumbel分布称之为标准Gumbel分布；

的概率分布为：

(6)

其所对应的累积分布函数(CDF)为：

(7)

从图3中可以看出：标准Gumbel分布与标准正态分布的形状大体上接近，但Gumbel分布不是对称的，其分布呈现一定的偏态。另外，Gumbel分布尾巴要比标准正态分布更肥一点。Fig.3. 标准Gumbel分布和标准正态分布

Logistic分布

在推导二项Logit模型的表达式之前，再介绍另外一个分布：Logistic分布。

随机变量

服从Logistic分布是指

具有下列分布函数和密度函数：

(8)

(9)

其中，

为位置参数，

为形状参数。为方便起见，我们将参数为

、

的Logistic分布记为

。

下图4给出了参数

和

取不同的值时所对应的Logistic分布的概率密度函数(PDF)。从图中可以看出，曲线在

附近增长速度比较快，两端增长速度比较慢。形状参数

的值越小，曲线在

附近增长得越快。当

、

时，称为标准Logistic分布；其所对应的分布函数和密度函数分别为：

(10)

(11)Fig.4. Logistic分布

Logit模型的推导

先给出一条重要性质：如果随机变量

和

均服从Gumbel分布，且

、

之间相互独立，则

服从Logistic分布。亦即，若：

、

之间相互独立

则：

根据上面的(3)式我们知道决策主体 n 选择方案 i 的概率

等价于：

在Logit模型中，我们就是假设随机效用部分

和

均服从Gumbel分布，且

、

之间相互独立。根据上面的性质，

便服从参数为0、1的Logistic分布。于是上面的式子可以进一步改写成：

(12)

分子分母同时乘以

可得：

(13)

式中

、

表示方案i、j的效用中的确定性的部分。前面提到过，效用的确定性部分可以表示成多个自变量的线性组合，即：

最终，在二项Logit模型中，决策者 n 选择方案 i 的概率可以表示为：

(14)

(14)式即为二项Logit模型的表达式。图5给出了仅有一个自变量时的二项Logit和二项Probit的图像：Fig.5. 二项Logit和二项Probit模型对比

【本篇完】

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