一点睛

构造最小生成树还有一种算法，即 Kruskal 算法：设图 G=（V，E）是无向连通带权图，V={1,2，...n};设最小生成树 T=(V，TE)，该树的初始状态只有 n 个节点而无边的非连通图T=(V,{}),Kruskal 算法将这n 个节点看成 n 个孤立的连通分支。它首先将所有边都按权值从小到大排序，然后值要在 T 中选的边数不到 n-1,就做这样贪心选择：在边集 E 中选择权值最小的边(i,j),如果将边(i,j)加入集合 TE 中不产生回路，则将边(i,j)加入边集 TE 中，即用边(i，j)将这两个分支合并成一个连通分支；否则继续选择下一条最短边。把边(i,j)从集合 E 中删去，继续上面的贪心选择，直到 T 中的所有节点都在同一个连通分支上为止。此时，选取的 n-1 条边恰好构成图 G 的一棵最小生成树 T。

Kruskal 算法用一种非常聪明的方法，就是运用集合避圈；如果所选择加入边的起点和终点都在 T 集合中，就可以断定会形成回路，变的两个节点不能属于同一个集合。

二算法步骤

1 初始化。将所有边都按权值从小到大排序，将每个节点集合号都初始化为自身编号。

2 按排序后的顺序选择权值最小的边（u,v）。

3 如果节点 u 和 v 属于两个不同的连通分支，则将边(u,v)加入边集 TE 中，并将两个连通分支合并。

4 如果选取的边数小于 n-1,则转向步骤2，否则算法结束。

三图解

设图 G=(V，E)是无向连通带权图。

1 初始化

将所有边都按权值从小到大排序，如下图所示。将每个节点都初始化为一个孤立的分支，即一个节点对应一个集合，集合号为该节点的序号，如下图所示。

2 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e1(2,7),边值为1.

3 合并

节点2 和节点7的集合号不同，即属于两个不同的连通分支，将边（2,7）加入边集 TE 中，执行合并操作，将两个连通分支的所有节点都合并为一个集合；假设把小的集合号赋值给大的集合号，那么节点7的集合号将改为2.如下图所示。

4 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e2(4,5),边值为3.

5 合并

节点4 和节点5的集合号不同，即属于两个不同的连通分支，将边（4，5）加入边集 TE 中，执行合并操作，将两个连通分支的所有节点都合并为一个集合；将节点 5 的集合号将改为4.如下图所示。

6 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e3(3,7),边值为4.

7 合并

节点3 和节点7的集合号不同，即属于两个不同的连通分支，将边（3，7）加入边集 TE 中，执行合并操作，将两个连通分支的所有节点都合并为一个集合；将节点 3 的集合号将改为2.如下图所示。

8 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e4(4,7),边值为9.

9 合并

节点4 和节点7的集合号不同，即属于两个不同的连通分支，将边（4，7）加入边集 TE 中，执行合并操作，将两个连通分支的所有节点都合并为一个集合；将节点 4、5 的集合号将改为2.如下图所示。

10 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e5(3,4),边值为15.

11 合并

节点3 和节点4的集合号相同，属于相同的连通分支，不能选择，否则会形成回路。

12 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e6(5,7),边值为16.

13 合并

节点5 和节点7的集合号相同，属于相同的连通分支，不能选择，否则会形成回路。

14 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e7(5,6),边值为17.

15 合并

节点 5 和节点 6 的集合号不同，即属于两个不同的连通分支，将边（5,6）加入边集 TE 中，执行合并操作，将两个连通分支的所有节点都合并为一个集合；将节点 6 的集合号将改为2.如下图所示。

16 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e8(2,3),边值为20.

17 合并

节点2 和节点3的集合号相同，属于相同的连通分支，不能选择，否则会形成回路。

18 找最小

在 E 中寻找权值最小的边e9(1,2),边值为23.

19 合并

节点 1 和节点 2 的集合号不同，即属于两个不同的连通分支，将边（1,2）加入边集 TE 中，执行合并操作，将两个连通分支的所有节点都合并为一个集合；将节点 2,3,4,5,6,7 的集合号将改为1.如下图所示。

20 选中的各边和各个节点就是最小生成树，各边权值之和就是最小生成树的代价。

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