最小生成树的Kruskal算法实现

最近在复习数据结构，所以想起了之前做的一个最小生成树算法。用Kruskal算法实现的，结合堆排序可以复习回顾数据结构。现在写出来与大家分享。

　　最小生成树算法思想：书上说的是在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。说白了其实就是在含有 n 个顶点的连通网中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称最小生成树。

　　本程序用的是克鲁斯卡尔算法（Kruskal），也可以使用prim算法实现。Kruskal思想是在带权连通图中，不断地在排列好的边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。

图的顶点存储结构体：

1 //结构体定义，储存图的顶点
2 typedef struct {
3     int from; //边的起始顶点
4     int to;   //边的终止顶点
5     int cost; //边的权值
6 }Edge;

问题：顶点编号的类型。

　　好的程序应该可以扩展，不论顶点用0,1,2... 顺序编号还是用5,2,1,7... 乱序编号还是用a,b,c... 英文编号都应该可以做到兼容通过，所以在存储图的节点的时候我做了一个映射，就是不论输入的什么编号一律转换成顺序编号0,1,2...，在最后输出的时候再把编号映射回原来的编号，这样就可以应对不同而顶点编号。如下面程序：

 1 for(i = 0;i < edgeNum; i++){
 2     printf("请输入第 %d 条边！\n",i+1);
 3     scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost);
 4     edge_temp[i][0] = judge_num(from);
 5     edge_temp[i][1] = judge_num(to);
 6     edge_temp[i][2] = cost;
 7 }
 8 //对输入的边和点信息进行堆排序
 9 HeapSort(edge_temp,edgeNum);
10 int j;
11 for(j = 0;j < edgeNum; j++){
12     edge[j].from = edge_temp[j][0];
13     edge[j].to = edge_temp[j][1];
14     edge[j].cost = edge_temp[j][2];
15 }

每次输入顶点后都会先保存到临时存储数组edge_temp中，进行堆排序后再把数据白存在真正的数据中。其中判断是否形成回路借助了一个递归方法：

1 //用于判断是否形成回路
2 int judge(int num){
3     if(num == judge_temp[num]){
4         return judge_temp[num];
5     }
6     return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);
7 }

执行步骤：

1：在带权连通图中，将边的权值排序（本程序用的是堆排序）；

2：判断是否需要选择这条边（此时的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。

3：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。

判断法则：（当将边加入到已找到边的集合中时，是否会形成回路？）

1：如果没有形成回路，那么直接将其连通。此时，对于边的集合又要做一次判断：这两个点是否在已找到点的集合中出现过？如果两个点都没有出现过，那么将这两个点都加入已找到点的集合中；如果其中一个点在集合中出现过，那么将另一个没有出现过的点加入到集合中；如果这两个点都出现过，则不用加入到集合中。

2：如果形成回路，不符合要求，直接进行下一次操作。

重点类容就这么多，下面给出源程序，程序直接复制后可以运行，有兴趣的朋友也可以用prim算法实现。

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <string.h>
  3 //常量定义，边点最大数量限制50;
  4 #define MAXE 52
  5
  6 /*
  7  * Info:最小生成树算法源码(C语言版)
  8  * @author: zhaoyafei
  9  * time: 2015
 10  */
 11
 12 //结构体定义，储存图的顶点
 13 typedef struct {
 14     int from; //边的起始顶点
 15     int to;   //边的终止顶点
 16     int cost; //边的权值
 17 }Edge;
 18
 19 int nodeNum;  //顶点数;
 20 int edgeNum;  //边数;
 21 int min_cost; //记录最小生成树(权值)
 22 int judge_temp[MAXE]; //记录判断是否成环
 23 int sort[MAXE][MAXE]; //用来做排序
 24 int edge_temp[MAXE][3]; //用于存储堆排序边点信息
 25
 26 Edge edge[MAXE];        //用于存储边点信息
 27 Edge min_edge[MAXE];    //用于存储最小生成树边点信息
 28
 29 char judge_num_int[MAXE];
 30 int inputs = 1;
 31 void HeapSort(int array[MAXE][3],int length);
 32 int judge_num(char from);
 33
 34 //save_point()函数,存储图的点边信息;
 35 void save_point(){
 36     char from;
 37     char to;
 38     int cost = 0;
 39     int i;
 40     for(i = 0;i < edgeNum; i++){
 41         printf("请输入第 %d 条边！\n",i+1);
 42         scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost);
 43
 44         edge_temp[i][0] = judge_num(from);
 45         edge_temp[i][1] = judge_num(to);
 46         edge_temp[i][2] = cost;
 47     }
 48     //对输入的边和点信息进行堆排序
 49     HeapSort(edge_temp,edgeNum);
 50     int j;
 51     for(j = 0;j < edgeNum; j++){
 52         edge[j].from = edge_temp[j][0];
 53         edge[j].to = edge_temp[j][1];
 54         edge[j].cost = edge_temp[j][2];
 55     }
 56 }
 57
 58 int judge_num(char str){
 59     int n1 = 0;
 60     for(int j1 = 1;j1 < edgeNum * 2; j1++){
 61         if(str == judge_num_int[j1]){
 62             n1++;
 63         }
 64     }
 65     if(n1 == 0){
 66         judge_num_int[inputs] = str;
 67         inputs++;
 68     }
 69     int return_num = 1;
 70     for(int j2 = 1;j2 < edgeNum * 2; j2++){
 71         if(str == judge_num_int[j2]){
 72             return_num = j2;
 73         }
 74     }
 75     return return_num;
 76 }
 77
 78 //用于判断是否形成回路
 79 int judge(int num){
 80     if(num == judge_temp[num]){
 81         return judge_temp[num];
 82     }
 83     return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);
 84 }
 85
 86 //判断是否是一棵最小生成树
 87 bool is_judge(){
 88     int oneedge = judge(1);
 89     int i;
 90     for(i = 2;i <= nodeNum; i++)  {
 91         if(oneedge != judge(i)){
 92             return false;
 93         }
 94     }
 95     return true;
 96 }
 97
 98 //kruskal算法
 99 void kruskal(){
100     min_cost = 0;//最小生成树
101     //初始化辅助回路判断数组
102     int m;
103     for(m = 0;m < MAXE;m++)  {
104         judge_temp[m] = m;
105     }
106
107     int edge_num = 0;//记录最小生成树的边数
108     int i;
109     for(i = 0;i < edgeNum; i++){
110         //小于总节点数
111         if(edge_num != nodeNum - 1){
112             int edge_from = judge(edge[i].from);
113             int edge_to = judge(edge[i].to);
114             //如果形成回路则edge_from == edge_to;
115             if(edge_from != edge_to){
116                 //如果没有形成回路，则改变原临时数组中的值
117                 judge_temp[edge_from] = edge_to;
118                 min_cost += edge[i].cost;
119
120                 //将符合的边加入到存储数组中
121                 min_edge[edge_num].from = edge[i].from;
122                 min_edge[edge_num].to = edge[i].to;
123                 min_edge[edge_num].cost = edge[i].cost;
124
125                 edge_num++;
126             }
127         }
128     }
129 }
130
131 //array是待调整的堆数组，i是待调整的数组元素的位置，nlength是数组的长度
132 //根据数组array构建大顶堆
133 void HeapAdjust(int array[MAXE][3],int i,int nLength){
134    int nChild;
135    for(; 2*i + 1 < nLength; i = nChild){  //子结点的位置=2*（父结点位置）+1
136         nChild = 2*i + 1;
137         //得到子结点中较大的结点
138         if(nChild < nLength-1 && array[nChild+1][2] > array[nChild][2]){
139             ++nChild;
140         }
141         //如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
142         if(array[i][2] < array[nChild][2]){
143             int temp_arr2[3];
144             temp_arr2[0] = array[i][0];
145             temp_arr2[1] = array[i][1];
146             temp_arr2[2] = array[i][2];
147
148             array[i][0] = array[nChild][0];
149             array[i][1] = array[nChild][1];
150             array[i][2] = array[nChild][2];
151
152             array[nChild][0] = temp_arr2[0];
153             array[nChild][1] = temp_arr2[1];
154             array[nChild][2] = temp_arr2[2];
155         }else{
156             break;//否则退出循环
157         }
158     }
159 }
160
161 //堆排序算法
162 void HeapSort(int array[MAXE][3],int length){
163     //调整序列的前半部分元素，调整完之后第一个元素是序列的最大的元素
164     //length/2-1是最后一个非叶节点，此处"/"为整除
165     int j;
166     for( j= length/2 - 1; j >= 0; --j){
167         HeapAdjust(array,j,length);
168     }
169     //从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
170     int i;
171     for(i = length - 1; i > 0; --i){
172         //把第一个元素和当前的最后一个元素交换，
173         //保证当前的最后一个位置的元素都是在现在的这个序列之中最大的
174         int temp_arr1[3]; //构建二维数组的原因：交换后保证数组中其他属性值同时交换
175         temp_arr1[0] = array[i][0];
176         temp_arr1[1] = array[i][1];
177         temp_arr1[2] = array[i][2];
178
179         array[i][0] = array[0][0];
180         array[i][1] = array[0][1];
181         array[i][2] = array[0][2];
182
183         array[0][0] = temp_arr1[0];
184         array[0][1] = temp_arr1[1];
185         array[0][2] = temp_arr1[2];
186
187         //不断缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值
188         HeapAdjust(array,0,i);
189     }
190 }
191
192 //输出最小生成树的信息（包括边点和权值）
193 void output(){
194     if(is_judge()){
195         printf("最小生成树：\n");
196         printf("起点 -> 终点   路径长:\n");
197         for(int i = 0;i < nodeNum-1; i++){
198             printf(" %c   ->  %c       %d\n",judge_num_int[min_edge[i].from],judge_num_int[min_edge[i].to],min_edge[i].cost);
199         }
200         printf("min cost is : %d\n",min_cost);
201         printf("*******************************************************************************\n");
202         printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
203     }else{
204         printf("最小生成树不存在！\n");
205         printf("*******************************************************************************\n");
206         printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
207     }
208 }
209
210 /*
211  * 程序主方法;
212  * 用于开始程序，介绍程序操作须知;
213  */
214 int main(){
215     printf("*******************************************************************************\n");
216     printf("**                         最小生成树（kruskal算法）                        ***\n");
217     printf("**  说明：开始程序输入图的总点数和总边数，测试程序目前边点限制最多输入50个  ***\n");
218     printf("**        中间用空格隔开。输入边和点信息，需要按格式：开始边 终止边  权值   ***\n");
219     printf("**        本次计算结束可以按要求开始下次计算。                              ***\n");
220     printf("*******************************************************************************\n");
221     printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
222     while(scanf("%d%d",&nodeNum,&edgeNum) != EOF){
223         //判断输入的边和点的合法性
224         if(nodeNum < 1 || edgeNum < 1){
225             printf("输入的数据不合法\n");
226             printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
227             return 0;
228         }else if(nodeNum > 50 || edgeNum > 50){
229             printf("输入的边或者点不能大于50\n");
230             printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
231             return 0;
232         }else{
233             printf("请输入 开始节点 终止节点 该边的权值（中间需用空格隔开,回车换行）:\n");
234             printf("共 %d 条边\n",edgeNum);
235             for(int m = 0;m < MAXE; m++)  {
236                 judge_num_int[m] = '-';
237             }
238             inputs = 1;
239             save_point(); //存储边点信息
240             kruskal();    //算法执行
241             output();     //输出执行结果
242         }
243     }
244     return 0;
245 }

运行结果如下：

转载于:https://www.cnblogs.com/zyf-zhaoyafei/p/4604006.html

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