可恶啊，Easy居然让yzh抢了一步

这是一道有趣的题目

歪解时间

这里先借一下被GM公开处刑的超时代码，方便后面正解的引入

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[200005],aa[200005];
bool check(int num){int a_0=0,a_1=0;          //后文解释两个变量的作用for(int i=1;i<=n*2-1;i++){aa[i]=a[i];if(aa[i]>=num){a_1++;}else{a_0++;}}for(int i=1;i<n;i++){if(a_1<=1){return 0;}if(a_0<=1){return 1;}a_0=a_1=0;for(int j=1;j<=2*n-1-2*i;j++){int x=aa[j],y=aa[j+1],z=aa[j+2];if(x>y){swap(x,y);}if(y>z){swap(y,z);}if(x>y){swap(x,y);}aa[j]=y;if(aa[j]>=num){a_1++;}else{a_0++;}}}
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n*2-1;i++){scanf("%d",&a[i]);}int l=1,r=n*2-1;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2;if(check(mid)){l=mid;}else{r=mid-1;}} printf("%d",l);return 0;
}

二分思路很简单，如果当前二分的这个数是大于等于实际答案的，则改变左端点，反之，改变右端点

这里浅浅解释一下a_0和a_1的作用

用a_1统计当前数列中大于等于mid的数量，a_0统计当前数列中小于mid的数量

如果a_1<=1，说明数列中的数几乎都是小于mid的，最终得出来的结果肯定是小于mid的，a_0<=1同理

明显T到飞起

由于二分本身是一个 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn) 的算法，那么check里面只能考虑 O ( n ) O(n) O(n)

正在苦思冥想之时，我的目光注射到了a_0与a_1上

正解时间

首先要清楚一个母庸质疑的结论：三个数 a , a , b a,a,b a,a,b 的中位数是 a a a

基于此，我们开始头脑风暴

我们可以按照处理a_0与a_1的思路，将原序列转化成一个01串， 0 0 0 表示该数字小于mid， 1 1 1 表示该数字大于等于mid

将原序列转化成01串后，可以将该01串拆成如下的基本结构：00000，11111和01010

为了方便描述，我们分别取名为A，B和C

我们讨论一下如下两种情况

A与B相邻

如上图，这两个串的中间是一条完美的分水岭，两个串会不断向上伸展，而不向左右伸展

证明很简单

设左边串的右端点为 r r r，右边串的左端点为 l l l，整个串是 S S S 串，转化后的串是 s s s 串

∀ i ( i ≠ l , i ≠ r ) , S i = s i \forall\ i(i\ne l,i\ne r),S_i=s_i ∀ i(i=l,i=r),Si=si

如上的结论应该是显然的，因为 S i − 1 = S i = S i + 1 S_{i-1}=S_i=S_{i+1} Si−1=Si=Si+1

对于 S l S_l Sl ，因为 S l − 1 = S l S_{l-1}=S_l Sl−1=Sl ，根据我们一开始所推得的结论，不难得出 S l = s l S_l=s_l Sl=sl

对于 S r S_r Sr ，因为 S r + 1 = S r S_{r+1}=S_r Sr+1=Sr ，得出 S r = s r S_r=s_r Sr=sr

综上， ∀ i , S i = s i \forall\ i,S_i=s_i ∀ i,Si=si

那么，这第一个结论也就得证了

A（或B）与C相邻

这里考虑A与C相邻

我们发现：A串会一点一点的向C串延伸，直至“吃掉”整个C串

证明：

设左边串的右端点为 r r r，右边串的左端点为 l l l，整个串是 S S S 串，转化后的串是 s s s 串

∀ i ( i ≤ r ) , S i = s i \forall\ i(i\le r),S_i=s_i ∀ i(i≤r),Si=si

∀ i ( i > l ) , ∴ S i − 1 = S i + 1 ∵ s i = S i − 1 \forall\ i(i>l),\therefore\ S_{i-1}=S_{i+1}\ \because\ s_i=S_{i-1} ∀ i(i>l),∴ Si−1=Si+1 ∵ si=Si−1

对于 i = l i=l i=l ，因为 S i S_i Si 与 S i + 1 S_{i+1} Si+1 中各有一个 0 0 0 和 1 1 1 ，则 s i s_i si 的取值决定于 S i − 1 S_{i-1} Si−1，所以 s i = S i − 1 s_i=S_{i-1} si=Si−1

综上， ∀ i ( i ≤ r ) , S i = s i , ∀ j ( j ≥ l ) , S j = s j − 1 \forall\ i(i\le r),S_i=s_i,\forall\ j(j\ge l),S_j=s_{j-1} ∀ i(i≤r),Si=si,∀ j(j≥l),Sj=sj−1

得出了这两个结论后，我们可以进行进一步推理

为了后文推理方便，这里定义一个概念：串到点的距离

对于一个串 [ l , r ] [\ l,r\ ] [ l,r ]（左端点下标为 l l l，右端点下标为 r r r），这个串到下标为 a a a 的点的距离为 min ⁡ ( a − l , a − r ) \min(a-l,a-r) min(a−l,a−r)

特殊的，如果 l ≤ a ≤ r l\le a\le r l≤a≤r ，则距离为 0 0 0

很显然，当 S n S_n Sn 属于A串或属于B串时，就可以确定最终结果了（因为只有A串和B串是永恒不变的）

那么， S n S_n Sn 初始时会有两种情况

S n S_n Sn 属于A串或B串

此时我们已经能确定答案了，且 S n S_n Sn 到该串（A串或B串）的距离为 0 0 0

S n S_n Sn 属于C串

因为 S n S_n Sn 属于C串，所以，C串左右的A串和B串可以通过C串一步步占领 S n S_n Sn，显然，距离 S n S_n Sn 近的一个串会占领 S n S_n Sn

综上，我们不难发现：如果某一个A串距离 S n S_n Sn 的距离比任何一个B串距离 S n S_n Sn 的距离都要小，则最终 S n S_n Sn 属于A串，结果为 0 0 0;如果某一个B串距离 S n S_n Sn 的距离比任何一个A串距离 S n S_n Sn 的距离都要小，则最终 S i S_i Si 属于B串，结果为 1 1 1

所以，只需要求离 S n S_n Sn 最近的A串到 S n S_n Sn 的距离和离 S n S_n Sn 最近的B串到 S n S_n Sn 的距离即可

当然，原序列或许会有只有C串的情况，特判即可

代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[200005],aa[200005];
bool check(int num){for(int i=1;i<=n+n-1;i++){if(a[i]>=num){aa[i]=1;}else{aa[i]=0;}}int a_0=2147483647,a_1=2147483647;for(int i=n;i>=1;i--){           //求离 S_n 最近的A串到 S_n 的距离if(aa[i]==0&&aa[i-1]==0){a_0=n-i;break;}}for(int i=n;i<=n+n-1;i++){if(aa[i]==0&&aa[i+1]==0){a_0=min(a_0,i-n);break;}}for(int i=n;i>=1;i--){          //求离 S_n 最近的B串到 S_n 的距离if(aa[i]==1&&aa[i-1]==1){a_1=n-i;break;}}for(int i=n;i<=n+n-1;i++){if(aa[i]==1&&aa[i+1]==1){a_1=min(a_1,i-n);break;}}if(a_0==2147483647&&a_1==2147483647){            //只有C串if(aa[n]==0){if(n%2==0){return 1;}return 0;}if(n%2==0){return 0;}return 1;}if(a_0==2147483647){           //没有A串return 1;}if(a_1==2147483647){          //没有B串return 0;}if(a_0>a_1){return 1;}return 0;
}
int main(){scanf("%d",&n);aa[0]=-1,aa[n+n]=-1;for(int i=1;i<=n*2-1;i++){scanf("%d",&a[i]);}int l=1,r=n*2-1;while(l<r){int mid=(l+r+1)/2;if(check(mid)){l=mid;}else{r=mid-1;}} printf("%d",l);return 0;
}

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