每日一题/003/微积分/极限问题转化为定积分的定义

题目(2021年华东师范研究生入学数学分析考试）：
求
lim⁡n→+∞n(n+1)(n+2)⋯(2n−1)nn\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{n(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)}}{n}n→+∞limnnn(n+1)(n+2)⋯(2n−1)

参考答案：
lim⁡n→+∞n(n+1)(n+2)⋯(2n−1)nn=n(n+1)(n+2)⋯(2n−1)nnn=(1+1n)⋅(1+2n)⋯(1+n−1n)n=eln⁡(1+1n)+ln⁡(1+2n)+⋯+ln⁡(1+n−1n)n=e∫12ln⁡(x)dx=eln⁡4−1=4e\begin{aligned} \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{n(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)}}{n}&=\sqrt[n]{\frac{n(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)}{n^n}}\\ &=\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})\cdot(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n-1}{n})}\\ &=e^{\frac{\ln(1+\frac{1}{n})+\ln(1+\frac{2}{n})+\cdots+\ln(1+\frac{n-1}{n})}{n}}\\ &=e^{\int_1^2\ln(x)\,\mathrm{d}x}\\ &=e^{\ln4-1}\\ &=\frac{4}{e} \end{aligned}n→+∞limnnn(n+1)(n+2)⋯(2n−1)=nnnn(n+1)(n+2)⋯(2n−1)=n(1+n1)⋅(1+n2)⋯(1+nn−1)=enln(1+n1)+ln(1+n2)+⋯+ln(1+nn−1)=e∫12ln(x)dx=eln4−1=e4

2020年12月31日14:55:36

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