正态分布下贝叶斯决策的特例（三）

前导知识：【正态分布下贝叶斯决策】
本文讨论各类协方差矩阵都不相等的情形：
这是多元正态分布的一般情况，即：
Σi≠Σj,i,j=1,2,...,c(1)\Sigma_i \not = \Sigma_j,i,j=1,2,...,c \tag 1 Σi=Σj,i,j=1,2,...,c(1)
一般式：
gi(x)=−12σ2(x−μi)TΣi−1(x−μi)+ln⁡P(wi)+−d2ln⁡2π−12ln⁡σ2dg_i(x)=-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_i)^T\Sigma_i^{-1}(x-\mu_i)+\ln P(w_i) + -\frac{d}{2}\ln 2\pi-\frac{1}{2} \ln\sigma^{2d} gi(x)=−2σ21(x−μi)TΣi−1(x−μi)+lnP(wi)+−2dln2π−21lnσ2d
上式中只有第三项d2ln⁡2π\frac{d}{2} \ln 2\pi2dln2π与iii无关，简化后得：
gi(x)=−12xTΣi−1x+12xTΣi−1μi+12μiTΣi−1x+ln⁡P(wi)−12μiTΣi−1μi−12ln⁡∣Σi∣(2)g_i(x)=-\frac{1}{2} x^T \Sigma_i^{-1} x+\frac{1}{2} x^T \Sigma_i^{-1} \mu_i + \frac{1}{2} \mu_i^T \Sigma_i^{-1} x + \ln P(w_i) - \frac{1}{2} \mu_i^T \Sigma_i^{-1} \mu_i -\frac{1}{2} \ln |\Sigma_i| \tag 2 gi(x)=−21xTΣi−1x+21xTΣi−1μi+21μiTΣi−1x+lnP(wi)−21μiTΣi−1μi−21ln∣Σi∣(2)
这时判别函数(3)(3)(3)将gi(x)g_i(x)gi(x)表示为xxx的二次型。若决策域R1R_1R1和R2R_2R2毗邻，则决策域满足：
gi(x)−gj(x)=0g_i(x)-g_j(x)=0 gi(x)−gj(x)=0
图示：

在此背景下的决策面为超二次曲面。

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