计算机控制系统中的Z变换

Z变换是针对于离散信号的变换，在计算机控制系统中我们常常先采样连续信号x(t)，得到离散信号x*(t)，然后对采样信号进行Z变换，把时域变为Z域。其意义之一在于离散控制系统传递函数可用Z域的函数来表示，进而确定元件或者系统的稳定性。

Note：以下利用到的离散信号均用x*(t)表示，且认为其是x(t)经过采样之后得到的信号。并且认为t>=0时刻才有非0值，t<0时为0。

Z变换的一个定义是：

对于拉普拉斯变换，除了连续信号x(t)有拉普拉斯变换，x*(t)也有相应的拉普拉斯变换，可以写作X*(s)。那么X*(s)到底等于什么?先放一张关系图：

Note：上图中f(t) 即为本文的x(t)，为了文本同一，下面一律使用x(t)

我们分析一下上图：首先连续信号x(t)有拉普拉斯变换X(s)，且他们是一一对应的，可以相互转换；连续信号采样得到离散信号，离散信号有拉普拉斯变换，也有Z变换，均是一一对应，可以相互转化；但是离散信号没有到连续信号的箭头，我们知道，根据DTFT或者香农采样定理，只要满足两个条件——(1)连续信号最大频率已知；(2)采样频率大于两倍最大频率——就可以完全还原真是信号，当然前提是理想滤波器存在，如果只知道X*(s)或者X(z)，那么是不能得到x(t)的。

那么X*(s)到底等于什么？我们用两种方法推导一下：

我们看到（1）式和（2）式形式上不一样，其实应该是相等的，相等的原因我不会推导。。。（过一阵会了再来吧）

对于（2）式，我们可以看出，如果令s=jw，就X(jw+kjw)就变成了周期函数，拉普拉斯变换就变成了DTFT。

对于（1）式，我们可以看出，如果令 $z=e^{sT}$ ，便得到了x*(t)的Z变换，所以Z变换还可以有第二种得出方案：

Z变换“定义”二：

对于X*(s)，令 $s=\frac{1}{T}lnz$ ，并且带入X*(s)式种，便得到X(z)式。

注意：对于X(s)我们不能直接用上述代换，因为没有一一对应关系。未完。。。

Z变换的性质

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