贾俊平《统计学》常用公式

统计学公式
- 数据的概括性度量
- 概率与概率分布
- 统计量及其抽样分布
- 参数估计
- - 一个总体参数的区间估计
  - 两个总体参数的区间估计
  - 样本量的确定
- 假设检验
- - 一个总体参数的假设检验统计量
  - 两个总体参数的假设检验统计量
- 分类数据分析
- 方差分析
- - 单因素方差分析
  - 双因素方差分析
  - - 无交互作用
    - 有交互作用
- 一元线性回归
- 多元线性回归
- 时间序列分析和预测

统计学公式

数据的概括性度量

中位数 MeM_eMe
Me={x(n+12),n为奇数12{x(n2)+x(n2+1)},n为偶数M_e = \begin{cases} x_{(\frac{n+1}{2})}, &n为奇数 \\ \frac{1}{2}\left\{ x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2} + 1)} \right\}, &n为偶数 \end{cases} Me={x(2n+1),21{x(2n)+x(2n+1)},n为奇数n为偶数
简单样本平均数 x‾\overline{x}x
x‾=1n∑i=1nxi\begin{aligned} \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \end{aligned} x=n1i=1∑nxi
加权样本平均数 x‾\overline{x}x
x‾=1n∑i=1kMifi其中n=∑i=1kfi\begin{aligned} \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k M_i f_i \quad 其中n=\sum_{i=1}^k f_i\end{aligned} x=n1i=1∑kMifi其中n=i=1∑kfi
几何平均数 GGG
G=∏i=1nxin\begin{aligned} G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \end{aligned} G=ni=1∏nxi
异众比率 VrV_rVr
Vr=∑i=1kfi−fm∑i=1kfi=1−fm∑i=1kfi\begin{aligned} V_r &= \frac{\sum_{i=1}^k f_i - f_m}{\sum_{i=1}^k f_i} \\ &=1-\frac{f_m}{\sum_{i=1}^k f_i} \end{aligned} Vr=∑i=1kfi∑i=1kfi−fm=1−∑i=1kfifm
四分位差 QdQ_dQd
Qd=QU−QL\begin{aligned} Q_d = Q_U-Q_L \end{aligned} Qd=QU−QL
极差 RRR
R=max(x1,x2,⋯,xn)−min(x1,x2,⋯,xn)\begin{aligned} R = max(x_1,x_2,\cdots,x_n) - min(x_1,x_2,\cdots, x_n) \end{aligned} R=max(x1,x2,⋯,xn)−min(x1,x2,⋯,xn)
简单平均差 MdM_dMd
Md=1n∑i=1n∣xi−x‾∣\begin{aligned} M_d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\overline{x}| \end{aligned} Md=n1i=1∑n∣xi−x∣
加权平均差 MdM_dMd
Md=1n∑i=1k∣Mi−x‾∣fi\begin{aligned} M_d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k|M_i-\overline{x}|f_i \end{aligned} Md=n1i=1∑k∣Mi−x∣fi
简单样本方差 s2s^2s2
s2=1n−1∑i=1n(xi−x‾)2\begin{aligned} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2 \end{aligned} s2=n−11i=1∑n(xi−x)2
简单样本标准差 sss
s2=1n−1∑i=1k(Mi−x‾)2fi\begin{aligned} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^k(M_i - \overline{x})^2 f_i \end{aligned} s2=n−11i=1∑k(Mi−x)2fi
加权样本方差 s2s^2s2
s=1n−1∑i=1n(xi−x‾)2\begin{aligned} s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2} \end{aligned} s=n−11i=1∑n(xi−x)2
加权样本标准差 sss
s=1n−1∑i=1k(Mi−x‾)2fi\begin{aligned} s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^k(M_i - \overline{x})^2 f_i} \end{aligned} s=n−11i=1∑k(Mi−x)2fi
标准分数 ziz_izi
zi=xi−x‾s\begin{aligned} z_i = \frac{x_i - \overline{x}}{s} \end{aligned} zi=sxi−x
离散系数 vsv_svs
vs=sx‾\begin{aligned} v_s = \frac{s}{\overline{x}} \end{aligned} vs=xs
未分组数据的偏态系数 SKSKSK
SK=n∑i=1n(xi−x‾)3(n−1)(n−2)s3\begin{aligned} SK = \frac{n \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^3}{(n-1)(n-2)s^3} \end{aligned} SK=(n−1)(n−2)s3n∑i=1n(xi−x)3
分组数据的偏态系数 SKSKSK
SK=∑i=1k(Mi−x‾)3fins3\begin{aligned} SK = \frac{\sum_{i=1}^k(M_i - \overline{x})^3 f_i}{ns^3} \end{aligned} SK=ns3∑i=1k(Mi−x)3fi
未分组数据的峰态系数 KKK
K=n(n+1)∑i=1n(xi−x‾)4−3(n−1)[∑i=1n(xi−x‾)2]2(n−1)(n−2)(n−3)s4\begin{aligned} K = \frac{n(n+1)\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^4 - 3(n-1)[\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2]^2}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4} \end{aligned} K=(n−1)(n−2)(n−3)s4n(n+1)∑i=1n(xi−x)4−3(n−1)[∑i=1n(xi−x)2]2
分组数据的峰态系数 KKK
K=∑i=1k(Mi−x‾)4fins4−3\begin{aligned} K = \frac{\sum_{i=1}^k(M_i - \overline{x})^4 f_i}{ns^4} - 3 \end{aligned} K=ns4∑i=1k(Mi−x)4fi−3

概率与概率分布

概率的古典定义
P(A)=事件A所包含的基本事件个数样本空间所包含的基本事件个数\begin{aligned} P(A) = \frac{事件A所包含的基本事件个数}{样本空间所包含的基本事件个数} \end{aligned} P(A)=样本空间所包含的基本事件个数事件A所包含的基本事件个数
概率的统计定义
P(A)=mn相同条件下随机试验n次，事件A出现m次\begin{aligned} &P(A) = \frac{m}{n} \\ 相同条件下随机&试验n次，事件A出现m次 \end{aligned} 相同条件下随机P(A)=nm试验n次，事件A出现m次
离散型随机变量的期望值
E(X)=∑k=0∞k⋅P(X=k)\begin{aligned} E(X) = \sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot P(X=k) \end{aligned} E(X)=k=0∑∞k⋅P(X=k)
离散型随机变量的方差
Var(X)=∑k=0∞(k−E(X))2⋅P(X=k)\begin{aligned} Var(X) = \sum_{k = 0}^{\infty} (k-E(X))^2 \cdot P(X=k) \end{aligned} Var(X)=k=0∑∞(k−E(X))2⋅P(X=k)
二项分布 b(n,p)b(n, p)b(n,p) 的概率
P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k\begin{aligned} P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \end{aligned} P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k
二项分布的期望值
E(X)=∑k=0nk⋅P(X=k)=∑k=0nk⋅Cnkpk(1−p)n−k=np\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \\ &= np \end{aligned} E(X)=k=0∑nk⋅P(X=k)=k=0∑nk⋅Cnkpk(1−p)n−k=np
二项分布的方差
Var(X)=∑k=0n(k−E(X))2⋅P(X=k)=∑k=0n(k−E(X))2⋅Cnkpk(1−p)n−k=np(1−p)\begin{aligned} Var(X) &= \sum_{k=0}^{n} (k-E(X))^2 \cdot P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{n} (k-E(X))^2 \cdot C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \\ &= np(1-p) \end{aligned} Var(X)=k=0∑n(k−E(X))2⋅P(X=k)=k=0∑n(k−E(X))2⋅Cnkpk(1−p)n−k=np(1−p)
泊松分布 P(λ)P(\lambda)P(λ) 的概率
P(X=k)=λkk!e−λ\begin{aligned} P(X = k) = \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} \end{aligned} P(X=k)=k!λke−λ
泊松分布的期望值
E(X)=∑k=0∞k⋅P(X=k)=∑k=0∞k⋅λkk!e−λ=λ\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} \\ &= \lambda \end{aligned} E(X)=k=0∑∞k⋅P(X=k)=k=0∑∞k⋅k!λke−λ=λ
泊松分布的方差
Var(X)=∑k=0∞(k−E(X))2⋅P(X=k)=∑k=0∞(k−E(X))2⋅λkk!e−λ=λ\begin{aligned} Var(X) &= \sum_{k=0}^{\infty} (k-E(X))^2 \cdot P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} (k-E(X))^2 \cdot \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} \\ &= \lambda \end{aligned} Var(X)=k=0∑∞(k−E(X))2⋅P(X=k)=k=0∑∞(k−E(X))2⋅k!λke−λ=λ
连续型随机变量的期望值
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx\begin{aligned} E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} xf(x) \, dx \end{aligned} E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
连续型随机变量的方差
Var(X)=∫−∞+∞(x−E(X))2f(x)dx\begin{aligned} Var(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x-E(X))^2f(x) \, dx \end{aligned} Var(X)=∫−∞+∞(x−E(X))2f(x)dx
正态分布 N(μ,σ2)N(\mu , \sigma ^ 2)N(μ,σ2) 的概率密度函数
f(x)=12πσexp{−(x−μ)22σ2}\begin{aligned} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} exp \left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma ^2} \right\} \end{aligned} f(x)=2πσ1exp{−2σ2(x−μ)2}
标准正态分布的概率密度函数
f(x)=12πexp{−x22}\begin{aligned} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp \left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} \end{aligned} f(x)=2π1exp{−2x2}
标准正态分布的分布函数
F(x)=∫−∞x12πexp{−t22}dt\begin{aligned} F(x) = \int_{- \infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp \left\{ -\frac{t^2}{2}\right\} \, dt \end{aligned} F(x)=∫−∞x2π1exp{−2t2}dt
标准化公式
zi=xi−x‾s\begin{aligned} z_i = \frac{x_i - \overline{x}}{s} \end{aligned} zi=sxi−x

统计量及其抽样分布

X‾\overline{X}X 抽样分布的期望值
E(x‾)=μ\begin{aligned} E(\overline{x}) = \mu \end{aligned} E(x)=μ
X‾\overline{X}X 抽样分布的方差
Var(X‾)=σ2n\begin{aligned} Var(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \end{aligned} Var(X)=nσ2
样本方差S2S^2S2
S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2\begin{aligned} S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \end{aligned} S2=n−11i=1∑n(Xi−X)2
样本变异系数VVV
V=SX‾\begin{aligned} V = \frac{S}{\overline{X}} \end{aligned} V=XS
样本kkk阶矩mkm_kmk
mk=1n∑i=1nXik\begin{aligned} m_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k \end{aligned} mk=n1i=1∑nXik
样本kkk阶中心距vkv_kvk
vk=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)k\begin{aligned} v_k = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^k \end{aligned} vk=n−11i=1∑n(Xi−X)k
样本偏度α3\alpha_3α3
α3=n−1∑i=1n(Xi−X‾)3∑i=1n[(Xi−X‾)2]3/2\begin{aligned} \alpha_3 = \frac{\sqrt{n-1} \sum_{i=1}^n(X_i - \overline{X})^3}{\sum_{i=1}^n[(X_i - \overline{X})^2]^{3/2}} \end{aligned} α3=∑i=1n[(Xi−X)2]3/2n−1∑i=1n(Xi−X)3
样本峰度α4\alpha_4α4
α4=(n−1)∑i=1n(Xi−X‾)4∑i=1n[(Xi−X‾)2]2−3\begin{aligned} \alpha_4 = \frac{(n-1) \sum_{i=1}^n(X_i - \overline{X})^4}{\sum_{i=1}^n[(X_i - \overline{X})^2]^2} - 3 \end{aligned} α4=∑i=1n[(Xi−X)2]2(n−1)∑i=1n(Xi−X)4−3

参数估计

一个总体参数的区间估计

总体均值的置信区间（正态总体，σ\sigmaσ已知）
x‾±zα/2σn\begin{aligned} \overline{x} \pm z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned} x±zα/2nσ
总体均值的置信区间（σ\sigmaσ未知，大样本）
x‾±zα/2sn\begin{aligned} \overline{x} \pm z_{\alpha /2} \frac{s}{\sqrt{n}} \end{aligned} x±zα/2ns
总体均值的置信区间（正态总体，σ\sigmaσ未知，小样本）
x‾±tα/2(n−1)sn\begin{aligned} \overline{x} \pm t_{\alpha /2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \end{aligned} x±tα/2(n−1)ns
总体比例的置信区间
p±zα/2p(1−p)n\begin{aligned} p \pm z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{aligned} p±zα/2np(1−p)
总体方差的置信区间
((n−1)s2χα/22(n−1),(n−1)s2χ1−α/22(n−1))\begin{aligned} \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha /2}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha /2}(n-1)} \right) \end{aligned} (χα/22(n−1)(n−1)s2,χ1−α/22(n−1)(n−1)s2)

两个总体参数的区间估计

均值之差的区间估计（独立大样本，σ12\sigma_1^2σ12 和 σ22\sigma_2^2σ22 已知）
x1‾−x2‾±zα/2σ12n1+σ22n2\begin{aligned} \overline{x_1} - \overline{x_2} \pm z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \end{aligned} x1−x2±zα/2n1σ12+n2σ22
均值之差的区间估计（独立大样本，σ12\sigma_1^2σ12 和 σ22\sigma_2^2σ22 未知）
x1‾−x2‾±zα/2s12n1+s22n2\begin{aligned} \overline{x_1} - \overline{x_2} \pm z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \end{aligned} x1−x2±zα/2n1s12+n2s22
均值之差的区间估计（独立小样本，σ12\sigma_1^2σ12 和 σ22\sigma_2^2σ22 未知但相等）
x1‾−x2‾±tα/2(n1+n2−2)sp2(1n1+1n2)其中sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2\begin{aligned} &\overline{x_1} - \overline{x_2} \pm t_{\alpha / 2}(n_1+n_2-2) \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} \\ &其中s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \end{aligned} x1−x2±tα/2(n1+n2−2)sp2(n11+n21)其中sp2=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22
均值之差的区间估计（独立小样本，σ12\sigma_1^2σ12 和 σ22\sigma_2^2σ22 未知且不相等，两个样本的容量相等）
类似于匹配样本，记Y=X1−X2∼N(μ1−μ2,σ12+σ22),SY2=1n−1∑i=1n(Yi−Y‾)2,则T=(X1‾−X2‾)−(μ1−μ2)SY/n(X1‾−X2‾)±tα/2(n−1)SYn\begin{aligned} 类似于匹配样本，记Y = X_1 - X_2 &\sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2), S_Y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \overline{Y})^2,则\\ T &= \frac{(\overline{X_1} - \overline{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_Y / \sqrt{n}} \\ & (\overline{X_1} - \overline{X_2}) \pm t_{\alpha / 2}(n-1) \frac{S_Y}{\sqrt{n}} \end{aligned} 类似于匹配样本，记Y=X1−X2T∼N(μ1−μ2,σ12+σ22),SY2=n−11i=1∑n(Yi−Y)2,则=SY/n(X1−X2)−(μ1−μ2)(X1−X2)±tα/2(n−1)nSY
均值之差的区间估计（独立小样本，σ12\sigma_1^2σ12 和 σ22\sigma_2^2σ22 未知且不相等，两个样本的容量不相等）
x1‾−x2‾±tα/2(v)s12n1+s22n2其中v=(s12/n1+s22/n2)2(s12/n1)2n1−1+(s22/n2)2n2−1\begin{aligned} &\overline{x_1} - \overline{x_2} \pm t_{\alpha / 2}(v) \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &其中v = \frac{\left( s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2 \right)^2}{ \frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \end{aligned} x1−x2±tα/2(v)n1s12+n2s22其中v=n1−1(s12/n1)2+n2−1(s22/n2)2(s12/n1+s22/n2)2
均值之差的置信区间（匹配大样本）
d‾±zα/2σdn\begin{aligned} \overline{d} \pm z_{\alpha / 2} \frac{\sigma_d}{\sqrt{n}} \end{aligned} d±zα/2nσd
均值之差的置信区间（匹配小样本）
d‾±tα/2(n−1)sdn\begin{aligned} \overline{d} \pm t_{\alpha / 2}(n-1) \frac{s_d}{\sqrt{n}} \end{aligned} d±tα/2(n−1)nsd
两个总体比例之差的置信区间
(p1−p2)±zα/2p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\begin{aligned} (p_1 -p_2) \pm z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \end{aligned} (p1−p2)±zα/2n1p1(1−p1)+n2p2(1−p2)
两个总体方差比的置信区间
(s12s22⋅Fα/2(n1−1,n2−1),s12s22⋅F1−α/2(n1−1,n2−1))\begin{aligned} \left( \frac{s_1^2}{s_2^2 \cdot F_{\alpha / 2}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{s_1^2}{s_2^2 \cdot F_{1 - \alpha / 2}(n_1-1,n_2-1)} \right) \end{aligned} (s22⋅Fα/2(n1−1,n2−1)s12,s22⋅F1−α/2(n1−1,n2−1)s12)

样本量的确定

估计总体均值时的样本量
n=zα/22⋅σ2E2\begin{aligned} n = \frac{z_{\alpha / 2}^2 \cdot \sigma^2}{E^2} \end{aligned} n=E2zα/22⋅σ2
估计总体比例时的样本量
n=zα/22⋅p(1−p)E2\begin{aligned} n = \frac{z_{\alpha / 2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2} \end{aligned} n=E2zα/22⋅p(1−p)

假设检验

一个总体参数的假设检验统计量

总体均值检验的统计量（正态总体，σ\sigmaσ 已知）
nx‾−μ0σ∼N(0,1)\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma} \sim N(0, 1) \end{aligned} nσx−μ0∼N(0,1)
总体均值检验的统计量（σ\sigmaσ 未知，大样本）
nx‾−μ0s∼N(0,1)\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{\overline{x} - \mu_0}{s} \sim N(0, 1) \end{aligned} nsx−μ0∼N(0,1)
总体均值检验的统计量（正态总体，σ\sigmaσ 未知，小样本）
nx‾−μ0s∼t(n−1)\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{\overline{x} - \mu_0}{s} \sim t(n-1) \end{aligned} nsx−μ0∼t(n−1)
总体比例的检验统计量
np−πp(1−p)∼N(0,1)\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{p - \pi}{\sqrt{p(1-p)}} \sim N(0, 1) \end{aligned} np(1−p)p−π∼N(0,1)
总体方差的检验统计量
(n−1)s2σ2∼χ2(n−1)\begin{aligned} \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \end{aligned} σ2(n−1)s2∼χ2(n−1)

两个总体参数的假设检验统计量

两个总体均值之差检验的统计量（σ12\sigma_1^2σ12，σ22\sigma_2^2σ22 已知）
x1‾−x2‾−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2∼N(0,1)\begin{aligned} \frac{\overline{x_1} - \overline{x_2} - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1) \end{aligned} n1σ12+n2σ22x1−x2−(μ1−μ2)∼N(0,1)
两个总体均值之差检验的统计量（σ12\sigma_1^2σ12，σ22\sigma_2^2σ22 未知但相等，小样本）
x1‾−x2‾−(μ1−μ2)sp2(1n1+1n2)∼t(n−1)\begin{aligned} \frac{\overline{x_1} - \overline{x_2} - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{s_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} \sim t(n-1) \end{aligned} sp2(n11+n21)x1−x2−(μ1−μ2)∼t(n−1)
两个总体比例之差检验的统计量（检验两个总体比例相等的假设）
p1−p2−(π1−π2)p(1−p)(1n1+1n2)∼N(0,1)其中p=n1p1+n2p2n1+n2\begin{aligned} &\frac{p_1 - p_2 - (\pi_1 - \pi_2)}{\sqrt{p(1-p) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} \sim N(0,1) \\ &其中p = \frac{n_1p_1 + n_2p_2}{n_1+n_2} \end{aligned} p(1−p)(n11+n21)p1−p2−(π1−π2)∼N(0,1)其中p=n1+n2n1p1+n2p2
两个总体比例之差检验的统计量（检验两个总体比例之差不为0的假设）
p1−p2−(π1−π2)p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2∼N(0,1)\begin{aligned} \frac{p_1 - p_2 - (\pi_1 - \pi_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim N(0,1) \end{aligned} n1p1(1−p1)+n2p2(1−p2)p1−p2−(π1−π2)∼N(0,1)
两个样本方差比检验的统计量
s12/σ12s22/σ22∼F(n1−1,n2−1)\begin{aligned} \frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1) \end{aligned} s22/σ22s12/σ12∼F(n1−1,n2−1)

分类数据分析

χ2\chi^2χ2 统计量
χ2=∑i=1r∑j=1s(nij−npij^)2npij^∼χ2((r−1)(s−1))=∑i=1r∑j=1s(nij−npi⋅^⋅p⋅j^)2npi⋅^⋅p⋅j^=∑i=1r∑j=1s(nij−ni⋅⋅n⋅j/n)2ni⋅⋅n⋅j/n\begin{aligned} \chi^2 &= \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^s \frac{(n_{ij} - n\hat{p_{ij}})^2}{n\hat{p_{ij}}} \sim \chi^2((r-1)(s-1)) \\ &= \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^s \frac{(n_{ij} - n \hat{p_{i \cdot}} \cdot \hat{p_{\cdot j}})^2}{n \hat{p_{i \cdot}} \cdot \hat{p_{\cdot j}}} \\ &= \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^s \frac{(n_{ij} - n_{i \cdot} \cdot n_{\cdot j} / n)^2}{n_{i \cdot} \cdot n_{\cdot j} / n} \end{aligned} χ2=i=1∑rj=1∑snpij^(nij−npij^)2∼χ2((r−1)(s−1))=i=1∑rj=1∑snpi⋅^⋅p⋅j^(nij−npi⋅^⋅p⋅j^)2=i=1∑rj=1∑sni⋅⋅n⋅j/n(nij−ni⋅⋅n⋅j/n)2
φ\varphiφ 相关系数
φ=χ2/n\begin{aligned} \varphi = \sqrt{\chi^2 / n} \end{aligned} φ=χ2/n
列联相关系数
c=χ2χ2+n\begin{aligned} c = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}} \end{aligned} c=χ2+nχ2
VVV 相关系数
V=χ2n×min{r−1,s−1}显然若有一维为2，则V值就等于φ值\begin{aligned} V &= \sqrt{\frac{\chi^2}{n \times min\{r-1, s-1 \}}} \\ &显然若有一维为2，则V值就等于\varphi值 \end{aligned} V=n×min{r−1,s−1}χ2显然若有一维为2，则V值就等于φ值

方差分析

单因素方差分析

总平方和SSTSSTSST
SST=∑i=1k∑j=1ni(xij−x‾‾)2\begin{aligned} SST=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SST=i=1∑kj=1∑ni(xij−x)2
组间平方和SSASSASSA
SSA=∑i=1kni(x‾i−x‾‾)2\begin{aligned} SSA=\sum_{i=1}^k n_i (\overline{x}_i - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SSA=i=1∑kni(xi−x)2
组内平方和SSESSESSE
SSE=∑i=1k∑j=1ni(xij−x‾i)2\begin{aligned} SSE=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \overline{x}_i)^2 \end{aligned} SSE=i=1∑kj=1∑ni(xij−xi)2
组间方差MSAMSAMSA
MSA=SSAk−1\begin{aligned} MSA = \frac{SSA}{k - 1} \end{aligned} MSA=k−1SSA
组间方差MSEMSEMSE
MSE=SSEn−k\begin{aligned} MSE = \frac{SSE}{n - k} \end{aligned} MSE=n−kSSE
检验统计量
F=SSA/(k−1)SSE/(n−k)∼F(k−1,n−k)=MSAMSE\begin{aligned} F &= \frac{SSA/(k-1)}{SSE / (n-k)} \sim F(k-1, n-k) \\ &= \frac{MSA}{MSE} \end{aligned} F=SSE/(n−k)SSA/(k−1)∼F(k−1,n−k)=MSEMSA
关系强度的测量R2R^2R2
R2=SSASST\begin{aligned} R^2 = \frac{SSA}{SST} \end{aligned} R2=SSTSSA
多重比较的LSDLSDLSD
LSD=tα/2(n−k)MSE(1ni+1nj)\begin{aligned} LSD = t_{\alpha /2}(n-k) \sqrt{MSE(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j})} \end{aligned} LSD=tα/2(n−k)MSE(ni1+nj1)

双因素方差分析

无交互作用

总平方和SSTSSTSST
SST=∑i=1k∑j=1r(xij−x‾‾)2\begin{aligned} SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r(x_{ij} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SST=i=1∑kj=1∑r(xij−x)2
行因素平方和SSRSSRSSR
SSR=∑i=1k∑j=1r(x‾i⋅−x‾‾)2\begin{aligned} SSR = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r(\overline{x}_{i \cdot} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SSR=i=1∑kj=1∑r(xi⋅−x)2
列因素平方和SSCSSCSSC
SSC=∑i=1k∑j=1r(x‾⋅j−x‾‾)2\begin{aligned} SSC = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r(\overline{x}_{\cdot j} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SSC=i=1∑kj=1∑r(x⋅j−x)2
误差平方和SSESSESSE
SSE=∑i=1k∑j=1r(xij−x‾i⋅−x‾⋅j+x‾‾)2=SST−SSR−SSC\begin{aligned} SSE &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r(x_{ij} - \overline{x}_{i \cdot} - \overline{x}_{\cdot j} + \overline{\overline{x}})^2 \\ &= SST - SSR - SSC \end{aligned} SSE=i=1∑kj=1∑r(xij−xi⋅−x⋅j+x)2=SST−SSR−SSC
行因素的均方MSRMSRMSR
MSR=SSRk−1\begin{aligned} MSR = \frac{SSR}{k - 1} \end{aligned} MSR=k−1SSR
列因素的均方MSCMSCMSC
MSC=SSCr−1\begin{aligned} MSC = \frac{SSC}{r - 1} \end{aligned} MSC=r−1SSC
随机误差项的均方MSEMSEMSE
MSE=SSE(k−1)(r−1)\begin{aligned} MSE = \frac{SSE}{(k-1)(r-1)} \end{aligned} MSE=(k−1)(r−1)SSE
行因素的检验统计量FRF_RFR
FR=MSRMSE∼F(k−1,(k−1)(r−1))\begin{aligned} F_R = \frac{MSR}{MSE} \sim F(k-1, (k-1)(r-1)) \end{aligned} FR=MSEMSR∼F(k−1,(k−1)(r−1))
列因素的检验统计量FCF_CFC
FC=MSCMSE∼F(r−1,(k−1)(r−1))\begin{aligned} F_C = \frac{MSC}{MSE} \sim F(r-1, (k-1)(r-1)) \end{aligned} FC=MSEMSC∼F(r−1,(k−1)(r−1))
关系强度的测量R2R^2R2
R2=SSR+SSCSST\begin{aligned} R^2 = \frac{SSR + SSC}{SST} \end{aligned} R2=SSTSSR+SSC

有交互作用

总平方和SSTSSTSST
SST=∑i=1k∑j=1r∑l=1m(xijl−x‾‾)2\begin{aligned} SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r \sum_{l=1}^m (x_{ijl} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SST=i=1∑kj=1∑rl=1∑m(xijl−x)2
行因素平方和SSRSSRSSR
SSR=rm∑i=1k(x‾i⋅−x‾‾)2\begin{aligned} SSR = rm\sum_{i=1}^k(\overline{x}_{i \cdot} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SSR=rmi=1∑k(xi⋅−x)2
列因素平方和SSCSSCSSC
SSC=km∑j=1r(x‾⋅j−x‾‾)2\begin{aligned} SSC = km \sum_{j=1}^r(\overline{x}_{\cdot j} - \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SSC=kmj=1∑r(x⋅j−x)2
交互作用平方和SSRCSSRCSSRC
SSRC=m∑i=1k∑j=1r(x‾ij−x‾i⋅−x‾⋅j+x‾‾)2\begin{aligned} SSRC = m \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^r(\overline{x}_{ij} - \overline{x}_{i \cdot} - \overline{x}_{\cdot j} + \overline{\overline{x}})^2 \end{aligned} SSRC=mi=1∑kj=1∑r(xij−xi⋅−x⋅j+x)2
误差平方和SSESSESSE
SSE=SST−SSR−SSC−SSRC\begin{aligned} SSE = SST - SSR - SSC - SSRC \end{aligned} SSE=SST−SSR−SSC−SSRC
行因素的均方MSRMSRMSR
MSR=SSRk−1\begin{aligned} MSR = \frac{SSR}{k-1} \end{aligned} MSR=k−1SSR
列因素的均方MSCMSCMSC
MSC=SSCr−1\begin{aligned} MSC = \frac{SSC}{r-1} \end{aligned} MSC=r−1SSC
交互作用的均方MSRCMSRCMSRC
MSRC=SSRC(k−1)(r−1)\begin{aligned} MSRC = \frac{SSRC}{(k-1)(r-1)} \end{aligned} MSRC=(k−1)(r−1)SSRC
随机误差项的均方MSEMSEMSE
MSE=SSEkr(m−1)\begin{aligned} MSE = \frac{SSE}{kr(m-1)} \end{aligned} MSE=kr(m−1)SSE
行因素的检验统计量FRF_RFR
FR=MSRMSE∼F(k−1,kr(m−1))\begin{aligned} F_R = \frac{MSR}{MSE} \sim F(k-1, kr(m-1)) \end{aligned} FR=MSEMSR∼F(k−1,kr(m−1))
列因素的检验统计量FCF_CFC
FC=MSCMSE∼F(r−1,kr(m−1))\begin{aligned} F_C = \frac{MSC}{MSE} \sim F(r-1, kr(m-1)) \end{aligned} FC=MSEMSC∼F(r−1,kr(m−1))
交互作用的检验统计量FRCF_{RC}FRC
FRC=MSRCMSE∼F((k−1)(r−1),kr(m−1))\begin{aligned} F_{RC} = \frac{MSRC}{MSE} \sim F((k-1)(r-1), kr(m-1)) \end{aligned} FRC=MSEMSRC∼F((k−1)(r−1),kr(m−1))

一元线性回归

相关系数 rrr
r=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2∑i=1n(yi−y‾)2=∑i=1nxi⋅yi−nx‾⋅y‾∑i=1nxi2−nx‾2∑i=1nyi2−ny‾2=Cov(X,Y)σX⋅σY=lxylxxlyy\begin{aligned} r &= \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2}} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^nx_i \cdot y_i - n\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i ^2 - n \overline{x} ^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i ^2 - n \overline{y} ^2}} \\ &= \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{\sigma_X\cdot\sigma_Y}} \\ &= \frac{l_{xy}}{\sqrt{l_{xx}l_{yy}}} \end{aligned} r=∑i=1n(xi−x)2∑i=1n(yi−y)2∑i=1n(xi−x)(yi−y)=∑i=1nxi2−nx2∑i=1nyi2−ny2∑i=1nxi⋅yi−nx⋅y=σX⋅σYCov(X,Y)=lxxlyylxy
相关系数的检验统计量
t=rn−21−r2∼t(n−2)\begin{aligned} t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \sim t(n-2) \end{aligned} t=r1−r2n−2∼t(n−2)
一元线性回归模型
y=β0+β1x+ϵ\begin{aligned} y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \end{aligned} y=β0+β1x+ϵ
一元线性回归方程
E(y)=β0+β1x\begin{aligned} E(y) = \beta_0 + \beta_1 x \end{aligned} E(y)=β0+β1x
估计的一元线性回归方程
y^=β0^+β1^x\begin{aligned} \hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x \end{aligned} y^=β0^+β1^x
回归方程的斜率（回归系数）β1^\hat{\beta_1}β1^
β1^=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2=∑i=1nxi⋅yi−nx‾⋅y‾∑i=1nxi2−nx‾2=Cov(X,Y)Var(X)=lxylxx\begin{aligned} \hat{\beta_1} &= \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^nx_i \cdot y_i - n\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sum_{i=1}^n x_i ^2 - n \overline{x} ^2} \\ &= \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)} \\ &= \frac{l_{xy}}{l_{xx}} \end{aligned} β1^=∑i=1n(xi−x)2∑i=1n(xi−x)(yi−y)=∑i=1nxi2−nx2∑i=1nxi⋅yi−nx⋅y=Var(X)Cov(X,Y)=lxxlxy
回归方程的截距 β0^\hat{\beta_0}β0^
β0^=y‾−β1^x‾\begin{aligned} \hat{\beta_0} = \overline{y} - \hat{\beta_1}\overline{x} \end{aligned} β0^=y−β1^x
总平方和SSTSSTSST
SST=∑i=1n(yi−y‾)2=lyy\begin{aligned} SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2 = l_{yy} \end{aligned} SST=i=1∑n(yi−y)2=lyy
回归平方和SSRSSRSSR
SSR=∑i=1n(yi^−y‾)2=∑i=1n(β0^+β1^xi−β0^−β1^x‾)2=β1^2∑i=1n(xi−x‾)2=β1^2lxx\begin{aligned} SSR &= \sum_{i=1}^n(\hat{y_i} - \overline{y})^2 \\ &= \sum_{i=1}^n(\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} \overline{x})^2 \\ &= \hat{\beta_1}^2 \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \\ &= \hat{\beta_1}^2 l_{xx} \end{aligned} SSR=i=1∑n(yi^−y)2=i=1∑n(β0^+β1^xi−β0^−β1^x)2=β1^2i=1∑n(xi−x)2=β1^2lxx
离差平方和SSESSESSE
SSE=∑i=1n(yi−yi^)2\begin{aligned} SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2 \end{aligned} SSE=i=1∑n(yi−yi^)2
判定系数R2R^2R2
R2=∑i=1n(yi^−y‾)2∑i=1n(yi−y‾)2=∑i=1n(β0^+β1^xi−β0^−β1^x‾)2∑i=1n(yi−y‾)2=β1^2∑i=1n(xi−x‾)2∑i=1n(yi−y‾)2=β1^2lxxlyy\begin{aligned} R^2 &= \frac{\sum_{i=1}^n(\hat{y_i} - \overline{y})^2}{\sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^n(\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2} \\ &= \hat{\beta_1}^2 \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2} \\ &= \hat{\beta_1}^2 \frac{l_{xx}}{l_{yy}} \end{aligned} R2=∑i=1n(yi−y)2∑i=1n(yi^−y)2=∑i=1n(yi−y)2∑i=1n(β0^+β1^xi−β0^−β1^x)2=β1^2∑i=1n(yi−y)2∑i=1n(xi−x)2=β1^2lyylxx
估计标准误差ses_ese
se=∑i=1n(yi−yi^)2n−2=SSEn−2\begin{aligned} s_e &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2}{n-2}} \\ &= \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} \end{aligned} se=n−2∑i=1n(yi−yi^)2=n−2SSE
线性关系检验的统计量
F=SSR/1SSE/(n−2)∼F(1,n−2)=(n−2)SSRSST−SSR=(n−2)R21−R2\begin{aligned} F &= \frac{SSR / 1}{SSE / (n-2)} \sim F(1, n-2) \\ &= (n-2)\frac{SSR}{SST - SSR} \\ &= (n-2)\frac{R^2}{1-R^2} \end{aligned} F=SSE/(n−2)SSR/1∼F(1,n−2)=(n−2)SST−SSRSSR=(n−2)1−R2R2
估计的回归系数 β1^\hat{\beta_1}β1^ 的标准差σβ1^\sigma_{\hat{\beta_1}}σβ1^
σβ1^=σ^∑i=1n(xi−x‾)2\begin{aligned} \sigma_{\hat{\beta_1}} = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2}} \end{aligned} σβ1^=∑i=1n(xi−x)2σ^
β1^\hat{\beta_1}β1^的估计的标准差sβ1^s_{\hat{\beta_1}}sβ1^
sβ1^=se∑i=1n(xi−x‾)2=selxx\begin{aligned} s_{\hat{\beta_1}} &= \frac{s_e}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2}} \\ &= \frac{s_e}{\sqrt{l_{xx}}} \end{aligned} sβ1^=∑i=1n(xi−x)2se=lxxse
回归系数检验的统计量
t=β1^sβ1^∼t(n−2)\begin{aligned} t = \frac{\hat{\beta_1}}{s_{\hat{\beta_1}}} \sim t(n-2) \end{aligned} t=sβ1^β1^∼t(n−2)
y0^\hat{y_0}y0^ 的标准差的估计量sy0^s_{\hat{y_0}}sy0^
sy0^=1n+(x0−x‾)2∑i=1n(xi−x‾)2=1n+(x0−x‾)2lxx\begin{aligned} s_{\hat{y_0}} &= \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{l_{xx}}} \end{aligned} sy0^=n1+∑i=1n(xi−x)2(x0−x)2=n1+lxx(x0−x)2
y0y_0y0 的标准差的估计量sinds_{ind}sind
sind=1+1n+(x0−x‾)2∑i=1n(xi−x‾)2=1+1n+(x0−x‾)2lxx\begin{aligned} s_{ind} &= \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}} \\ &= \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{l_{xx}}} \end{aligned} sind=1+n1+∑i=1n(xi−x)2(x0−x)2=1+n1+lxx(x0−x)2
yyy 的平均值的置信区间
y‾±1n+(x0−x‾)2lxx\begin{aligned} \overline{y} \pm \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{l_{xx}}} \end{aligned} y±n1+lxx(x0−x)2
yyy 的个别值的预测区间
y0±1+1n+(x0−x‾)2lxx\begin{aligned} y_0 \pm \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{l_{xx}}} \end{aligned} y0±1+n1+lxx(x0−x)2
残差eie_iei
ei=yi−yi^\begin{aligned} e_i = y_i - \hat{y_i} \end{aligned} ei=yi−yi^
标准化残差zeiz_{e_{i}}zei
zei=yi−yi^se\begin{aligned} z_{e_i} = \frac{y_i - \hat{y_i}}{s_e} \end{aligned} zei=seyi−yi^
参数β0\beta_0β0的最小二乘估计量的分布
β0^∼N(β0,σ2(1n+x‾2lxx))\begin{aligned} \hat{\beta_0} \sim N\left(\beta_0, \sigma^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{\overline{x}^2}{l_{xx}} \right) \right) \end{aligned} β0^∼N(β0,σ2(n1+lxxx2))
参数β1\beta_1β1的最小二乘估计量的分布
β1^∼N(β1,σ2lxx)\begin{aligned} \hat{\beta_1} \sim N\left(\beta_1, \frac{\sigma^2}{l_{xx}} \right) \end{aligned} β1^∼N(β1,lxxσ2)
参数σ2\sigma^2σ2的最小二乘估计量的分布
(n−2)σ2^σ2∼χ2(n−2)\begin{aligned} \frac{(n-2)\hat{\sigma^2}}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-2) \end{aligned} σ2(n−2)σ2^∼χ2(n−2)

多元线性回归

多元线性回归模型
y=β0+β1x1+⋯+βkxk+ϵ\begin{aligned} y=\beta_0+\beta_1 x_1+ \cdots+\beta_k x_k+\epsilon \end{aligned} y=β0+β1x1+⋯+βkxk+ϵ
多元线性回归方程
E(y)=β0+β1x1+⋯+βkxk\begin{aligned} E(y)=\beta_0+\beta_1 x_1+ \cdots+\beta_k x_k \end{aligned} E(y)=β0+β1x1+⋯+βkxk
估计的多元线性回归方程
y^=β0^+β1^x1+⋯+βk^xk\begin{aligned} \hat{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1} x_1+ \cdots+\hat{\beta_k} x_k \end{aligned} y^=β0^+β1^x1+⋯+βk^xk
多重判定系数
R2=SSRSST=1−SSESST=∑i=1n(yi^−y‾)2∑i=1n(yi−y‾)2\begin{aligned} R^2=\frac{SSR}{SST} = 1-\frac{SSE}{SST}=\frac{\sum_{i=1}^n(\hat{y_i} - \overline{y})^2}{\sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2} \end{aligned} R2=SSTSSR=1−SSTSSE=∑i=1n(yi−y)2∑i=1n(yi^−y)2
调整的多重判定系数
Ra2=1−(1−R2)n−1n−k−1\begin{aligned} R_a^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} \end{aligned} Ra2=1−(1−R2)n−k−1n−1
估计标准误差
se=∑i=1n(yi−yi^)2n−k−1=SSEn−k−1\begin{aligned} s_e &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2}{n-k-1}} \\ &= \sqrt{\frac{SSE}{n-k-1}} \end{aligned} se=n−k−1∑i=1n(yi−yi^)2=n−k−1SSE
线性关系检验的统计量
F=SSR/kSSE/(n−k−1)∼F(k,n−k−1)=n−k−1kSSRSST−SSR=n−k−1kR21−R2\begin{aligned} F &= \frac{SSR / k}{SSE / (n-k-1)} \sim F(k, n-k-1) \\ &= \frac{n-k-1}{k} \frac{SSR}{SST - SSR} \\ &= \frac{n-k-1}{k} \frac{R^2}{1-R^2} \end{aligned} F=SSE/(n−k−1)SSR/k∼F(k,n−k−1)=kn−k−1SST−SSRSSR=kn−k−11−R2R2
回归系数βi^\hat{\beta_i}βi^的抽样分布标准差 sβi^s_{\hat{\beta_i}}sβi^
sβi^=selxx=MSElxx=SSElxx(n−k−1)\begin{aligned} s_{\hat{\beta_i}} &= \frac{s_e}{\sqrt{l_{xx}}} \\ &= \sqrt{\frac{MSE}{l_{xx}}} \\ &= \sqrt{\frac{SSE}{l_{xx}(n-k-1)}} \end{aligned} sβi^=lxxse=lxxMSE=lxx(n−k−1)SSE
回归系数检验的统计量
ti=βi^sβi^∼t(n−k−1)\begin{aligned} t_i = \frac{\hat{\beta_i}}{s_{\hat{\beta_i}}} \sim t(n-k-1) \end{aligned} ti=sβi^βi^∼t(n−k−1)

时间序列分析和预测

环比增长率
Gi=Yi−Yi−1Yi−1=YiYi−1−1\begin{aligned} G_i = \frac{Y_i - Y_{i-1}}{Y_{i-1}} = \frac{Y_i}{Y_{i-1}} - 1 \end{aligned} Gi=Yi−1Yi−Yi−1=Yi−1Yi−1
定基增长率
Gi=Yi−Y0Y0=YiY0−1\begin{aligned} G_i = \frac{Y_i - Y_{0}}{Y_{0}} = \frac{Y_i}{Y_{0}} - 1 \end{aligned} Gi=Y0Yi−Y0=Y0Yi−1
平均增长率
G‾=(Y1Y0)(Y2Y1)⋯(YnYn−1)n−1=YnY0n−1\begin{aligned} \overline{G} = \sqrt[n]{\left( \frac{Y_1}{Y_0} \right) \left( \frac{Y_2}{Y_1} \right) \cdots \left( \frac{Y_n}{Y_{n-1}} \right)} - 1 = \sqrt[n]{\frac{Y_n}{Y_0}} - 1 \end{aligned} G=n(Y0Y1)(Y1Y2)⋯(Yn−1Yn)−1=nY0Yn−1
平均误差MEMEME
ME=1n∑i=1n(Yi−Fi)\begin{aligned} ME = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(Y_i - F_i) \end{aligned} ME=n1i=1∑n(Yi−Fi)
平均绝对误差MADMADMAD
MAD=1n∑i=1n∣Yi−Fi∣\begin{aligned} MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n|Y_i - F_i| \end{aligned} MAD=n1i=1∑n∣Yi−Fi∣
均方误差MSEMSEMSE
MSE=1n∑i=1n(Yi−Fi)2\begin{aligned} MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(Y_i - F_i)^2 \end{aligned} MSE=n1i=1∑n(Yi−Fi)2
平均百分比误差MPEMPEMPE
1n∑i=1n(Yi−FiYi×100)\begin{aligned} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{Y_i-F_i}{Y_i} \times 100 \right) \end{aligned} n1i=1∑n(YiYi−Fi×100)
平均绝对百分比误差MAPEMAPEMAPE
1n∑i=1n(∣Yi−Fi∣Yi×100)\begin{aligned} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{|Y_i-F_i|}{Y_i} \times 100 \right) \end{aligned} n1i=1∑n(Yi∣Yi−Fi∣×100)
简单平均法预测
Ft+1=1t∑i=1tYi\begin{aligned} F_{t+1} = \frac{1}{t} \sum_{i=1}^t Y_i \end{aligned} Ft+1=t1i=1∑tYi
移动平均法预测
Ft+1=1k∑i=1kYt−k+i\begin{aligned} F_{t+1} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k Y_{t-k+i} \end{aligned} Ft+1=k1i=1∑kYt−k+i
指数平滑法预测
Ft+1=αYt+(1−α)Ft=Ft+α(Yt−Ft)\begin{aligned} F_{t+1} &= \alpha Y_t + (1-\alpha)F_t \\ &= F_t + \alpha(Y_t - F_t) \end{aligned} Ft+1=αYt+(1−α)Ft=Ft+α(Yt−Ft)
线性趋势方程的截距和斜率
对于趋势方程Y^=b0+b1t,其参数的计算公式如下b1=n∑tY−∑t∑Yn∑t2−(∑t)2b0=Y‾−b1t‾\begin{aligned} 对于趋势方程\hat{Y} &= b_0 + b_1t,其参数的计算公式如下 \\ b_1 &= \frac{n\sum tY - \sum t \sum Y}{n\sum t^2 - (\sum t)^2}\\ b_0 &= \overline{Y} - b_1\overline{t} \end{aligned} 对于趋势方程Y^b1b0=b0+b1t,其参数的计算公式如下=n∑t2−(∑t)2n∑tY−∑t∑Y=Y−b1t
指数曲线的标准方程组
{∑lnY=nlnb0+lnb1∑t∑tlnY=lnb0∑t+lnb1∑t2\begin{cases} \sum ln Y = n ln b_0 + ln b_1 \sum t \\ \sum t ln Y = ln b_0 \sum t + ln b_1 \sum t^2 \end{cases} {∑lnY=nlnb0+lnb1∑t∑tlnY=lnb0∑t+lnb1∑t2
kkk 阶曲线方程
Yt^=b0+b1t+b2t2+⋯+bktk\begin{aligned} \hat{Y_t} = b_0 + b_1t + b_2 t^2 + \cdots + b_k t^k \end{aligned} Yt^=b0+b1t+b2t2+⋯+bktk
分离季节成分的公式表示
YS=T×S×IS=T×I\begin{aligned} \frac{Y}{S} = \frac{T \times S \times I}{S} = T \times I \end{aligned} SY=ST×S×I=T×I

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参数估计

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样本量的确定

假设检验

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两个总体参数的假设检验统计量

分类数据分析

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