文章目录

参考资料
1. 二次规划形式
2. 等式约束二次规划问题
- 2.1 变量消去法
- - 1. 示例
  - 2. 具体过程
- 2.2 Lagrange法
- 2.3 变量消去 vs Lagrange法
3. 不等式约束二次规划问题
- 3.1 Lagrange乘数法与KKT条件
- - 1. 只有不等式约束的一般形式
  - 2. 标准约束优化
  - 3. 示例
- 3.2 内点法
- 3.3 积极集法

参考资料

二次规划的若干算法研究
关于凸二次规划若干算法的研究
二次规划
不等式约束的优化问题

由于在面试中有被问及QP的原理，所以重点来总结一波QP的原理。

1. 二次规划形式

二次规划问题（Quadratic Programming，QP）是一种非线性规划问题，它的目标函数为二次函数，约束条件和线性规划问题的约束条件一样，都是线性等式或线性不等式，即

min⁡12x⊤Gx+h⊤xs.t.ai⊤x⩽bi,i∈I={1⋯m}.ai⊤x=bi,i∈ϵ={m+1,…m+l}. (1)\tag{1} \begin{aligned} &\min \frac{1}{2} x^{\top} G x+h^{\top} x\\ s.t.\quad &a_{i}^{\top} x \leqslant b_{i}, \quad i\in \mathcal{I}=\{1 \cdots m\}.\\ &a_{i}^{\top} x=b_{i}, \quad i\in\mathcal{\epsilon}=\{m+1, \ldots m + l \}\text {. } \end{aligned} s.t.min21x⊤Gx+h⊤xai⊤x⩽bi,i∈I={1⋯m}.ai⊤x=bi,i∈ϵ={m+1,…m+l}. (1)

一般二次规划问题可以分成以下几类：

凸二次规划问题：G半正定，问题有全局解
严格凸二次规划问题：G正定，问题有唯一全局解
一般二次规划问题：G不定，问题有稳定点或局部解

二次规划应用广泛，常见的例如有：求最小二乘法，点到多面体的距离，模型预测控制的求解等。

下面我们分别介绍等式约束和不等式约束下的二次规划的求解。

2. 等式约束二次规划问题

等式约束的二次规划问题一般形式如下：

min⁡12x⊤Gx+h⊤xs.t.A⊤x=b(2)\tag{2} \begin{aligned} \min &\frac{1}{2} x^{\top} G x+h^{\top} x\\ s.t.\quad &A^{\top}x=b \end{aligned} mins.t.21x⊤Gx+h⊤xA⊤x=b(2)

其中
b∈Rm,A∈Rn×m,rank⁡(A)=m,n>mb \in R^{m}, A \in R^{n \times m}, \operatorname{rank}(A)=m, n>m b∈Rm,A∈Rn×m,rank(A)=m,n>m

2.1 变量消去法

1. 示例

变量消去法思路很简单，就是初中时候学过的消元法（当然，抽象之后还是挺高级的）。例如举个小栗子，假设要求解下面这个二次规划问题：

min⁡x12+x22+x1+x2s.t. x1+x2=1\begin{array}{ll} \min & \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}+\mathrm{x}_{1}+ \mathrm{x}_{2} \\ \text { s.t. } & \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=1 \end{array} min s.t. x12+x22+x1+x2x1+x2=1
消除一个变量x2x_2x2，这样就可以很简单的求解出来:
min⁡x12+(1−x1)2+1−x1+x1\min \mathrm{x}_{1}^{2}+\left(1-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+1-\mathrm{x}_{1}+ \mathrm{x}_{1} minx12+(1−x1)2+1−x1+x1

当然我们还可以用拉格朗日法，推导出KKT条件（后面会讲）:
min⁡x12+x22+x1+x2+λ(x1+x2−1)\min \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}+\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\lambda\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}-1\right) minx12+x22+x1+x2+λ(x1+x2−1)

2. 具体过程

应用变量消去法求解包括以下3个步骤：

将xxx分成基本变量 xBx_{B}xB 与非基本变量 xNx_{N}xN 两部分，利用等式约束将基本变量用非基本变量表示出来；
再将基本变量带入目标函数，从而消去基本变量，把问题化为一个关于非基本变量的无约束最优化问题；
最后求解无约束最优化问题的方法解之

具体来说：

将 AAA 分块，使其包含一个 m×mm \times mm×m 非奇异矩阵 AB，x，hA_{B} ， x ， hAB，x，h 做对应的分块
x=(xBxN),A=(ABAN),G=(GBBGBNGNBGNN),h=(hBhN)(3)\tag{3} x=\left(\begin{array}{c} x_{B} \\ x_{N} \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{c} A_{B} \\ A_{N} \end{array}\right), G=\left(\begin{array}{ll} G_{B B} & G_{B N} \\ G_{N B} & G_{N N} \end{array}\right), h=\left(\begin{array}{c} h_{B} \\ h_{N} \end{array}\right) x=(xBxN),A=(ABAN),G=(GBBGNBGBNGNN),h=(hBhN)(3)

所以等式约束A⊤x=bA^{\top}x=bA⊤x=b就转化为：
(ABAN)⊤(xBxN)=b(4)\tag{4} \left(\begin{array}{c} A_{B} \\ A_{N} \end{array}\right)^{\top} \left(\begin{array}{c} x_{B} \\ x_{N} \end{array}\right) =b (ABAN)⊤(xBxN)=b(4)

将等式(4)写开得
ABxB+ANxN=b(5)\tag{5} \begin{gathered} A_{B}x_{B} +A_{N}x_{N}=\mathrm{b} \\ \end{gathered} ABxB+ANxN=b(5)
将基本变量用非基本变量表示出来
xB=AB−1b−AB−1ANxN(6)\tag{6} x_{B}=A_{B}^{-1}b-A_{B}^{-1}A_{N}x_{N} xB=AB−1b−AB−1ANxN(6)

这样原变量就可以写成:
x=(xBxN)=(AB−1b−AB−1ANxNxN)=(AB−1b0)+(−AB−1ANI)xN=x0+ZxN(7)\tag{7} \begin{aligned} x=\left(\begin{array}{c} x_{B} \\ x_{N} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} A_{B}^{-1}b-A_{B}^{-1}A_{N}x_{N} \\ x_{N} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} A_{B}^{-1}b \\ 0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} -A_{B}^{-1}A_{N} \\ I \end{array}\right)x_{N}=x_0+Zx_{N} \end{aligned} x=(xBxN)=(AB−1b−AB−1ANxNxN)=(AB−1b0)+(−AB−1ANI)xN=x0+ZxN(7)
即写成了一个类似于 x=x0+ZxNx=x_0+Zx_{N}x=x0+ZxN 的形式，这样我们将其代入目标函数，消去基本变量，把问题化为一个关于非基本变量的无约束最优化问题，最后求解无约束最优化问题的方法就能解出答案。

我们将x=x0+ZxNx=x_0+Zx_{N}x=x0+ZxN 带入到目标函数中得：
min⁡f(x)=12xTGx+hTx=12(x0+ZxN)TG(x0+ZxN)+hT(x0+ZxN)(8)\tag{8} \begin{aligned} \min f(x)&=\frac{1}{2} x^{T} G x+h^{T} x\\ &=\frac{1}{2}\left(x_0+Zx_{N}\right)^TG\left(x_0+Zx_{N}\right)+h^T\left(x_0+Zx_{N}\right) \end{aligned} minf(x)=21xTGx+hTx=21(x0+ZxN)TG(x0+ZxN)+hT(x0+ZxN)(8)

除了xNx_NxN，其他都是已知的常数项，由于常数项不影响优化结果，所以优化过程中省略常数项，得如下形式:
min⁡f(x)=12xNT(ZTGZ)xN+hTZxN(9)\tag{9} \begin{aligned} \min f(x)=\frac{1}{2}x_N^T\left(Z^TGZ\right)x_N+h^TZx_N \end{aligned} minf(x)=21xNT(ZTGZ)xN+hTZxN(9)
对其求导等于零:
(ZTGZ)xN+hTZ=0(10)\tag{10} \left(Z^TGZ\right)x_N+h^TZ=0 (ZTGZ)xN+hTZ=0(10)
如果想要其有唯一最优解，也就必须要满足 ZTGZZ^TGZZTGZ 为正定。

2.2 Lagrange法

等式约束二次规划的Lagrange函数为
L(x,λ)=12xTGx+hTx+λ(ATx−b)(11)\tag{11} L(x, \lambda)=\frac{1}{2} x^{T} G x+h^{T} x+\lambda\left(A^{T} x-b\right) L(x,λ)=21xTGx+hTx+λ(ATx−b)(11)
其中λ\lambdaλ称为Lagrange乘数，正负皆有可能。Lagrange乘数法将原本的约束优化问题转换成等价的无约束优化问题
min⁡x,λL(x,λ)(12)\tag{12} \min _{x, \lambda} L(x, \lambda) x,λminL(x,λ)(12)
计算 LLL 对 xxx 与 λ\lambdaλ 的偏导数并设为零，可得最优解的必要条件:

{∂L∂x=Gx+h+λA=0——定常方程式∂L∂λ=ATx−b=0——约束条件(13)\tag{13} \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial L}{\partial x}=G x+h+\lambda A=0 \quad\text{——定常方程式}\\ \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=A^{T} x-b=0 \quad\text{——约束条件} \end{array}\right. ⎩⎨⎧∂x∂L=Gx+h+λA=0——定常方程式∂λ∂L=ATx−b=0——约束条件(13)
表示为方程组:
[GAAT0][xλ]=[−hb](14)\tag{14} \left[\begin{array}{cc} G & A \\ A^{T} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -h \\ b \end{array}\right] [GATA0][xλ]=[−hb](14)

这样将这个方程组求解之后就可以求得最优解。

2.3 变量消去 vs Lagrange法

根据等式(10)和(14)的维度关系，变量消去法其实是转化成了一个 n−mn-mn−m维的问题，也就是说求解n−mn-mn−m个方程组就能解决这个问题。而 Lagrange法是将其转化成一个 n+mn+mn+m维的问题，即 nnn个变量， mmm个乘子。

如果建模建出来的问题就只需要求解一次等式二次规划问题，那么哪一个其实都可以求解，如果维数太大，建议用变量消去法。

变量消去法很直观，使用非基变量表示基变量，但是由于需要计算ABA_BAB的逆，当ABA_BAB接近奇异时会导致误差很大.

3. 不等式约束二次规划问题

本节主要来自参考资料4.

3.1 Lagrange乘数法与KKT条件

1. 只有不等式约束的一般形式

先考虑只有不等式约束的一般形式：
min⁡f(x)s.t. g(x)≤0.\begin{array}{ll} \min & f(\mathbf{x}) \\ \text { s.t. } & g(\mathbf{x}) \leq 0 . \end{array} min s.t. f(x)g(x)≤0.
约束不等式 g(x)≤0g(\mathbf{x}) \leq 0g(x)≤0 称为原始可行性(primal feasibility)，据此我们定义可行域(feasible region)

K={x∈Rn∣g(x)≤0}K=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid g(\mathbf{x}) \leq 0\}K={x∈Rn∣g(x)≤0}

假设 x⋆\mathbf{x}^{\star}x⋆ 为满足约束条件的最佳解，分开两种情况讨论：

g(x⋆)<0g\left(\mathbf{x}^{\star}\right)<0g(x⋆)<0 ，最佳解位于 KKK 的内部，称为内部解(interior solution)，这时约束条件是无效的 (inactive);
g(x⋆)=0g\left(\mathbf{x}^{\star}\right)=0g(x⋆)=0 ，最佳解落在 KKK 的边界，称为边界解(boundary solution)，此时约束条件是有效的(active)。

这两种情况的最佳解具有不同的必要条件。

内部解: 在约束条件无效的情形下， g(x)g(\mathbf{x})g(x) 不起作用，约束优化问题退化为无约束优化问题，因此驻点 x⋆\mathbf{x}^{\star}x⋆ 满足 ∇f=0\nabla f=\mathbf{0}∇f=0 且 λ=0\lambda=0λ=0 。

边界解：在约束条件有效的情形下，约束不等式变成等式 g(x)=0g(\mathbf{x})=0g(x)=0 ，这与前述Lagrange乘数法的情况相同。我们可以证明驻点 x⋆\mathbf{x}^{\star}x⋆ 发生于 ∇f∈span⁡∇g\nabla f \in \operatorname{span}\nabla g∇f∈span∇g （span是生成子空间），换句话说，存在 λ\lambdaλ 使得 ∇f=−λ∇g\nabla f=-\lambda \nabla g∇f=−λ∇g ，但这里 λ\lambdaλ 的正负号是有其意义的。因为我们希望最小化 fff ，梯度 ∇f\nabla f∇f (函数 fff 在点 x\mathbf{x}x 的最陡上升方向)应该指向可行域 KKK 的内部(因为你的最优解最小值是在边界取得的)，但 ∇g\nabla g∇g 指向 KKK 的外部(即 g(x)>0g(\mathbf{x})>0g(x)>0 的区域，因为你的约束是小于等于 0 ），因此 λ≥0\lambda \geq 0λ≥0，称为对偶可行性(dual feasibility)。

因此，不论是内部解或边界解， λg(x)=0\lambda g(\mathbf{x})=0λg(x)=0 恒成立，称为互补松弛性(complementary slackness)。整合上述两种情况，最佳解的必要条件包括Lagrangian函数 L(x,λ)L(\mathbf{x}, \lambda)L(x,λ) 的定常方程式、原始可行性、对偶可行性，以及互补松弛性：
{∇xL=∇f+λ∇g=0g(x)≤0λ≥0λg(x)=0.\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} \nabla_{\mathbf{x}} L &=\nabla f+\lambda \nabla g=\mathbf{0} \\ g(\mathbf{x}) & \leq 0 \\ \lambda & \geq 0 \\ \lambda g(\mathbf{x}) &=0 . \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧∇xLg(x)λλg(x)=∇f+λ∇g=0≤0≥0=0.
这些条件合称为Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件。如果我们要最大化 f(x)f(\mathbf{x})f(x) 且受限于 g(x)≤0g(\mathbf{x}) \leq 0g(x)≤0 ，那么对偶可行性要改成 λ≤0\lambda \leq 0λ≤0 。

2. 标准约束优化

考虑标准约束优化问题(或称非线性规划)：
min⁡f(x)s.t. gj(x)=0,j=1,…,m,hk(x)≤0,k=1,…,p.\begin{array}{ll} \min & f(\mathbf{x}) \\ \text { s.t. } & g_{j}(\mathbf{x})=0, \quad j=1, \ldots, m, \\ & h_{k}(\mathbf{x}) \leq 0, \quad k=1, \ldots, p . \end{array} min s.t. f(x)gj(x)=0,j=1,…,m,hk(x)≤0,k=1,…,p.
定义Lagrangian 函数
L(x,{λj},{μk})=f(x)+∑j=1mλjgj(x)+∑k=1pμkhk(x)L\left(\mathbf{x},\left\{\lambda_{j}\right\},\left\{\mu_{k}\right\}\right)=f(\mathbf{x})+\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} g_{j}(\mathbf{x})+\sum_{k=1}^{p} \mu_{k} h_{k}(\mathbf{x}) L(x,{λj},{μk})=f(x)+j=1∑mλjgj(x)+k=1∑pμkhk(x)
其中 λj\lambda_{j}λj 是对应 gj(x)=0g_{j}(\mathbf{x})=0gj(x)=0 的Lagrange乘数， μk\mu_{k}μk 是对应 hk(x)≤0h_{k}(\mathbf{x}) \leq 0hk(x)≤0 的Lagrange乘数(或称 KKT乘数)。KKT条件包括定常方程式、原始可行性、对偶可行性，以及互补松弛性，如下所示：
{∇xL=0gj(x)=0,j=1,…,m,hk(x)≤0,μk≥0,μkhk(x)=0,k=1,…,p.\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} \nabla_{\mathbf{x}} L &=\mathbf{0} \\ g_{j}(\mathbf{x}) &=0, \quad j=1, \ldots, m, \\ h_{k}(\mathbf{x}) & \leq 0, \\ \mu_{k} & \geq 0, \\ \mu_{k} h_{k}(\mathbf{x}) &=0, \quad k=1, \ldots, p . \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧∇xLgj(x)hk(x)μkμkhk(x)=0=0,j=1,…,m,≤0,≥0,=0,k=1,…,p.

3. 示例

考虑这个问题
{min⁡x12+x22s.t. x1+x2=1x2≤α\left\{\begin{array}{ll} \min & x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\ \text { s.t. } & x_{1}+x_{2}=1 \\ & x_{2} \leq \alpha \end{array}\right. ⎩⎨⎧min s.t. x12+x22x1+x2=1x2≤α
其中 (x1,x2)∈R2,α\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}, \alpha(x1,x2)∈R2,α 为实数。写出Lagrangigan函数
L(x1,x2,λ,μ)=x12+x22+λ(1−x1−x2)+μ(x2−α)L\left(x_{1}, x_{2}, \lambda, \mu\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda\left(1-x_{1}-x_{2}\right)+\mu\left(x_{2}-\alpha\right) L(x1,x2,λ,μ)=x12+x22+λ(1−x1−x2)+μ(x2−α)
KKT 方程组如下:
{∂L∂xi=0,i=1,2x1+x2=1x2−α≤0μ≥0μ(x2−α)=0\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_{i}} &=0, \quad i=1,2 \\ x_{1}+x_{2} &=1 \\ x_{2}-\alpha & \leq 0 \\ \mu & \geq 0 \\ \mu\left(x_{2}-\alpha\right) &=0 \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧∂xi∂Lx1+x2x2−αμμ(x2−α)=0,i=1,2=1≤0≥0=0
求偏导可得
{∂L∂x1=2x1−λ=0∂L∂x2=2x2−λ+μ=0\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_{1}}&=2 x_{1}-\lambda=0\\ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}&=2 x_{2}-\lambda+\mu=0 \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧∂x1∂L∂x2∂L=2x1−λ=0=2x2−λ+μ=0

分别解出
{x1=λ2x2=λ2−μ2\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} x_{1}&=\frac{\lambda}{2}\\ x_{2}&=\frac{\lambda}{2}-\frac{\mu}{2} \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧x1x2=2λ=2λ−2μ
代入约束等式
x1+x2=λ−μ2=1x_{1}+x_{2}=\lambda-\frac{\mu}{2}=1 x1+x2=λ−2μ=1

合并上面结果，
{x1=μ4+12x2=−μ4+12\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} x_{1}&=\frac{\mu}{4}+\frac{1}{2}\\ x_{2}&=-\frac{\mu}{4}+\frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧x1x2=4μ+21=−4μ+21

最后再加入约束不等式

−μ4+12≤α-\frac{\mu}{4}+\frac{1}{2} \leq \alpha −4μ+21≤α
即 μ≥2−4α\mu \geq 2-4 \alpha μ≥2−4α

底下分开三种情况讨论。
1. α>12\alpha>\frac{1}{2}α>21 : 不难验证 μ=0>2−4α\mu=0>2-4 \alphaμ=0>2−4α 满足所有的KKT条件，约束不等式是无效的， x1⋆=x2⋆=12x_{1}^{\star}=x_{2}^{\star}=\frac{1}{2}x1⋆=x2⋆=21 是内部解，目标函数的极小值是 12\frac{1}{2}21 。
2. α=12\alpha=\frac{1}{2}α=21 : 如同 1 ， μ=0=2−4α\mu=0=2-4 \alphaμ=0=2−4α 满足所有的KKT条件， x1⋆=x2⋆=12x_{1}^{\star}=x_{2}^{\star}=\frac{1}{2}x1⋆=x2⋆=21 是边界解，因为 x2⋆=αx_{2}^{\star}=\alphax2⋆=α 。
3. α<12\alpha<\frac{1}{2}α<21 : 这时约束不等式是有效的， μ=2−4α>0\mu=2-4 \alpha>0μ=2−4α>0 ，则 x1⋆=1−αx_{1}^{\star}=1-\alphax1⋆=1−α 且 x2⋆=αx_{2}^{\star}=\alphax2⋆=α ，目标函数的极小值是 (1−α)2+α2(1-\alpha)^{2}+\alpha^{2}(1−α)2+α2 。
考虑优化问题
min⁡f(x)=−2x12−x12s.t. x12+x22−2=0−x1+x2≥0x1≥0,x2≥0(1)\tag{1} \begin{aligned} &\operatorname{min }f(\mathrm{x})=-2 \mathrm{x}_1^2-\mathrm{x}_1^2 \\ &\text { s.t. } \quad \mathrm{x}_1^2+\mathrm{x}_2^2-2=0 \\ &\quad-\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2 \geq 0 \\ &\quad \mathrm{x}_1 \geq 0, \mathrm{x}_2 \geq 0 \end{aligned} minf(x)=−2x12−x12 s.t. x12+x22−2=0−x1+x2≥0x1≥0,x2≥0(1)
试验证 x∗=(1,1)Tx^*=(1,1)^{\mathrm{T}}x∗=(1,1)T 为 KKT\mathrm{KKT}KKT 点，并求出问题的 KKT\mathrm{KKT}KKT 对。
【解】记
f(x)=−2x12−x12g(x)=x12+x22−2h1(x)=x1−x2h2(x)=−x1h3(x)=−x2(2)\tag{2} \begin{aligned} \mathrm{f}(\mathrm{x}) &=-2 \mathrm{x}_1^2-\mathrm{x}_1^2 \\ \mathrm{~g}(\mathrm{x}) &=\mathrm{x}_1^2+\mathrm{x}_2^2-2 \\ \mathrm{~h}_1(\mathrm{x}) &=\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2 \\ \mathrm{~h}_2(\mathrm{x}) &=-\mathrm{x}_1 \\ \mathrm{~h}_3(\mathrm{x}) &=-\mathrm{x}_2 \end{aligned} f(x) g(x) h1(x) h2(x) h3(x)=−2x12−x12=x12+x22−2=x1−x2=−x1=−x2(2)

求梯度（都使用向量的形式写法，更紧凑），得到
∇f(x)=[−4x1−2x2],∇g(x)=[2x12x2]∇h1(x)=[1−1],∇h2(x)=[−10],∇h3(x)=[0−1](3)\tag{3} \begin{aligned} \nabla \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left[\begin{array}{c} -4 \mathrm{x}_1 \\ -2 \mathrm{x}_2 \end{array}\right], \quad \nabla \mathrm{g}(\mathrm{x})=\left[\begin{array}{l} 2 \mathrm{x}_1 \\ 2 \mathrm{x}_2 \end{array}\right] \\ \nabla \mathrm{h}_1(\mathrm{x})=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right], \quad \nabla \mathrm{h}_2(\mathrm{x})=\left[\begin{array}{l} -1 \\ 0 \end{array}\right], \quad \nabla \mathrm{h}_3(\mathrm{x})=\left[\begin{array}{l} 0 \\ -1 \end{array}\right] \end{aligned} ∇f(x)=[−4x1−2x2],∇g(x)=[2x12x2]∇h1(x)=[1−1],∇h2(x)=[−10],∇h3(x)=[0−1](3)
把 x∗=(1,1)Tx^*=(1,1)^{\mathrm{T}}x∗=(1,1)T 代入上面5个式子，由 KKT\mathrm{KKT}KKT 条件有，

{−4+2λ+μ1−μ2=0−2+2λ−μ1+μ3=0(4)\tag{4} \left\{\begin{array}{l} -4+2 \lambda+\mu_1-\mu_2=0 \\ -2+2 \lambda-\mu_1+\mu_3=0 \end{array}\right. {−4+2λ+μ1−μ2=0−2+2λ−μ1+μ3=0(4)
因为
{μ2h2(x)=0μ3h3(x)=0⇒{μ2∗=0μ3∗=0(5)\tag{5} \left\{\begin{array} { l } { \mu _ { 2 } \mathrm { h } _ { 2 } ( { \mathrm { x } } ) = 0 } \\ { \mu _ { 3 } \mathrm { h } _ { 3 } ( { \mathrm { x } } ) = 0 } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \mu_2^*=0 \\ \mu_3^*=0 \end{array}\right.\right. {μ2h2(x)=0μ3h3(x)=0⇒{μ2∗=0μ3∗=0(5)
所以(4)变为
{−4+2λ+μ1=0−2+2λ−μ1=0(6)\tag{6} \left\{\begin{array}{l} -4+2 \lambda+\mu_1=0 \\ -2+2 \lambda-\mu_1=0 \end{array}\right. {−4+2λ+μ1=0−2+2λ−μ1=0(6)
求解 (6)(6)(6) 式，得到
{λ∗=1.5μ1∗=1(7)\tag{7} \left\{\begin{array}{l} \lambda^*=1.5 \\ \mu_1^*=1 \end{array}\right. {λ∗=1.5μ1∗=1(7)
这表明 x∗\mathrm{x}^*x∗ 是 KKT\mathrm{KKT}KKT 点， (x∗,(λ∗,μ∗))\left(\mathrm{x}^*,\left(\lambda^*, \mu^*\right)\right)(x∗,(λ∗,μ∗)) 是 KKT\mathrm{KKT}KKT 对，其中， λ∗=1.5，μ∗=(1,0,0)T\lambda^*=1.5 ， \mu^*=(1,0,0)^{\mathrm{T}}λ∗=1.5，μ∗=(1,0,0)T 。

分割线，下面待更新

3.2 内点法

内点法引入障碍函数将约束条件转化为目标函数，生成等价于原模型的优化问题。

3.3 积极集法

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微型计算机最早提出于,大学计算机基础知识理论题及解答.doc
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自动化的计算机知识,2009年自动化部计算机基础知识理论试题
1 2009年自动化部计算机基础知识理论试题得分: 单项选择题(共100分,前125题,每题0.6分,后25题,每题1分) 1.在Windows 中,使用鼠标的______功能,可以实现文件或文件夹 ...
计算机硬件入门基础,计算机硬件基础知识总汇(入门讲解)
计算机硬件基础知识总汇(入门讲解) PC部分认识篇个人计算机基本组成个人计算机是由硬件系统和软件系统组成. 硬件:是指看的见.摸得着.实实在在的装置.(如:中央处理器(CPU).内存.硬盘.显卡 ...
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计算机基础知识(理论) 信息技术(IT) 开机--关机开机:先打开显示器电源,再打开主机电源. 关机:关机不是直接按主机电源按钮, 而是:开始→关闭计算机→关闭→是.(Windows98系统) ...
2021年5月系统集成项目管理工程师基础知识真题讲解
摘要:本视频由科科过特邀讲师刘江老师直播讲解真题.视频版请到科科过官网获取视频不仅把2021年5月系统集成项目管理工程师基础知识真题视频讲解,还通过举例.背诵口诀及答题方法给出详细介绍.也可登陆科科 ...
【Python数据结构系列】☀️《树与二叉树-基础知识》——知识点讲解+代码实现☀️
文章目录数据结构之树和二叉树第一部分树和二叉树的基础知识 1.树和二叉树的定义 1.1 树的定义 1.2 树的基本术语 1.3 二叉树的定义 2.二叉树的性质和存储结构 2.1 二叉树的性质 2 ...
计算机基础知识理论试题
计算机基础知识试题一.选择题:本大题共30个小题,每小题1分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在括号内. 1.冯·诺依曼计算机的基本原理是 [ ] A.程 ...

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