线性时间选择（C++）：求第k小的数

方法一：

思想：首先对整个数组进行划分，利用Partition函数，以数组中某个数为基准（这里以首项为标准）将数组划分为两部分——左边部分的所有数都小于基准，右边部分都大于基准，并返回基准数的下标值。

然后，如果要找到第k小个数,就将k的大小与数组左半边元素的个数（若为 j，包括基准）进行比较，如果k小于j，则对左边部分进行递归，找第k小个数；若k大于j，则对右边部分进行递归，找第k减去j个小数。

#include<iostream>
using namespace std;
template<typename T>
int Partition(T a[], int l, int r)
{int i = l, j = r + 1;T x = a[l];while (true){while (a[++i] < x && i <= r);while (a[--j] > x);if (i >= j)break;T m;m = a[i];a[i] = a[j];a[j] = m;}a[l] = a[j];a[j] = x;return j;
}
template<typename T>
T select(T a[], int left, int right, int k)
{if (left == right)return a[left];int i = Partition(a, left, right);int j = i - left + 1;if (k <= j)return select(a, left, i, k);elsereturn select(a, i + 1, right, k - j);}
int main()
{int m, k;cin>> m >> k;int* p = new int[m];for (int i = 0; i < m; i++)cin >> p[i];int h = select(p, 0, m - 1, k);cout << h;return 0;}

分析一下Partition函数：

以数组 a = {3 2 5 1 4 6 9}为例，首先以3为基准，令x=a[0]（一般写为x=a[left], left为数组左边的最小下标值），i= 0,

j=6+1（最大下标值加一），接着进循环。i自增1，判断a[i]是否小于x，若小于则继续往下判断，否则退出循环。然后，j自减1，判断a[j]是否大于x，若大于继续循环，否则退出循环。可知第一次退出时，i=2，j=3。然后交换a[i]与a[j]的值,数组变为{3 2 1 5 4 6 9}，继续循环，直到i>=j时退出循环，可知退出循环时i=3,j=2。将a[0]与a[j]的值交换，返回下标j旳值。数组变为{1 2 3 5 4 6 9}

左半部分（下标值小于2的部分）都小于基准x，即3，右边都大于3。

方法二：

如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。

例如，若ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。

步骤：

（1）将n个输入元素划分成n/5（向上取整）个组，每组5个元素，最多只可能有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5（向上取整）个。

（2）递归调用select来找出这n/5（向上取整）个元素的中位数。如果n/5（向上取整）是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准。

例子：

按递增顺序，找出下面29个元素的第18个元素：8,31,60,33,17,4,51,57,49,35,11,43,37,3,13,52,6,19,25,32,
54,16,5,41,7,23,22,46,29.
(1) 把前面25个元素分为5(=floor(29/5))组: (8,31,60,33,17),(4,51,57,49,35),(11,43,37,3,13),(52,6,19,25,32),(54,16,5,41,7);
(2) 提取每一组的中值元素，构成集合{31,49,13,25,16}；
(3) 递归地使用算法求取该集合的中值，得到m=25；
(4) 根据m=25, 把29个元素划分为3个子数组（按原有顺序）
P={8,17,4,11, 3,13,6,19,16,5,7,23,22}
Q={25}

R={31,60,33,51,57,49,35,43,37,52,32,54,41,46,29}

(5) 由于|P|=13,|Q|=1,k=18，所以放弃P,Q，使k=18-13-1=4，对R递归地执行本算法；
(6) 将R划分成3(floor(15/5))组：{31,60,33,51,57},{49,35,43,37,52},{32,54,41,46,29}
(7) 求取这3组元素的中值元素分别为：{51,43,41}，这个集合的中值元素是43;
(8) 根据43将R划分成3组： {31, 33, 35,37,32, 41, 29},{43},{60, 51,57, 49, 52,54, 46}
(9)将左半边元素的个数与18作比较，若小于18，则对右边进行递归，否则对左边进行递归。

参考文章：https://blog.csdn.net/m0_37579232/article/details/80178000

#include<iostream>
using namespace std;template<typename T>
void sort(T a[], int m, int n)
{for (int i = m; i <= n; i++){int x = i;for (int j = i + 1; j <= n; j++)if (a[x] > a[j])x = j;if (x != i){T num = a[x];a[x] = a[i];a[i] = num;}}
}
template<typename T>
int Partition(T a[], int l, int r,T midnum)
{int point=0;for(int q=l;q<=r;q++)if (a[q] == midnum){point = q;break;}T df = a[l];a[l] = a[point];a[point] = df;int i = l, j = r + 1;T x = a[l];while (true){while (a[++i] < x && i <=r);        while (a[--j] > x);if (i >= j)break;T m;m = a[i];a[i] = a[j];a[j] = m;}a[l] = a[j];a[j] = x;return j;
}template<typename T>
T select(T a[], int left, int right, int k)
{if(right-left<75){sort(a, left, right);return a[left + k - 1];}for (int i = 0; i <= (right - left - 4) / 5; i++){sort(a, left + 5 * i, left + 5 * i + 4);T jk = a[left + 5 * i + 2];a[left + 5 * i + 2] = a[left + i];a[left + i] = jk;}T x = select(a, left, left + (right - left - 4) / 5, (right - left - 4) / 10);int local = Partition(a, left, right, x), j = local - left + 1;if (k <= j)return select(a, left, local, k);elsereturn select(a, local + 1, right, k - j);}int main()
{int m,k;cin >> m>>k;int* p = new int[m];for (int i = 0; i < m; i++)cin >> p[i];int n = select(p, 0, m - 1, k);cout << n;return 0;
}