信号与系统学习总结

第三章傅里叶变换

章节思路：傅里叶级数——傅里叶变换——周期信号傅里叶变换——抽样定理
①傅里叶级数
满足狄利赫里条件的周期函数f(t)可以分解为a0(直流分量)、cos(nω1t)、和sin(nω1t)的和。根据欧拉公式，还可以改写为指数形式。不同频率分量的幅度值和频率可以组成幅度谱，与之对应还有相位谱。周期信号的频谱是离散的，只会出现在nω1的点上，这里的幅度是对应频率的分量真实的幅度值。

②傅里叶变换
傅里叶级数限定只能是周期函数，推广到非周期信号则会产生傅里叶变换的概念。把非周期信号看做是一个周期无穷大的周期信号，幅度谱也是离散的点，间隔很小离散的点变成连续的线，此时若看做是离散的点，对应的幅度值也是几乎为零，这样是没有研究意义的，从而引入频谱密度的概念。间隔nω1和幅度值F(nω1)都在趋近与零，但是速度相当它们的极限是个有限的值。还是从单个点的角度出发，F(nω1)/nω1取不同的n的值得到的结果都不相同。把这些点的结果都记录下来可以组成一个连续的函数F(ω),称为频谱密度。
从另一个角度理解傅里叶变换
由欧拉公式可知，
如果画到复平面，相当于从（1，0）出发逆时针转θ度(也可是弧长)，2π转了一圈。2πft可以控制转的频率（速度）和时间，加上负号就是顺时针转，再乘以一个f(t)就是圆，而是一个波，这样就相当于把f(t)看成一个条在绕圈。当绕的频率与信号频率不同时，绕出了一个线团，它的质心在原点附近，如果相同它会非常规则。例如一个正弦函数，它的峰值在一侧，谷值在另一侧，其质心也会偏离原点。取点求和取平均可以求得质心位置，无穷大求和变成积分，除以时间段。去掉除以的时间段，区间改到无穷，则表示按一定的频率一直绕。如果绕的频率与信号的频率不同，单个区间内质心不是固定的，时间越长会存在抵消，也会越绕越圆。如果相同，单个绕的周期内它的质心在同一个位置，绕的形状也很稳定，时间越长傅里叶变化的值也会越长。也就代表这一频率的信号强度很高，这很好地解释了信号的分解过程。
周期信号的傅里叶变换
推导：若f(t)为周期信号，那么f(t)可以展开为傅里叶级数
两边同时采取傅里叶变换（右边是每一项傅里叶）（利用指数傅里叶公式）

周期信号的傅里叶是一系列冲击的和。
求周期信号傅里叶系数的两种思路①取一个周期进行傅里叶级数系数计算，再与F(ω)对照。②任意周期信号都可以表示为一个最小周期和一个冲击序列的卷积。(一个周期段卷上冲击序列相当于把这个周期搬到冲击序列对应的数段上，从而形成整个周期)，两个信号卷积后的傅里叶变换=分别傅里叶变换后相乘。这样把周期信号的傅里叶变换问题变为单个周期的傅里叶变换问题。
抽样定理
原理：信号f(t)与p(t)相乘。目的是把连续信号变成离散样值。
时域相称→频域卷积×1/2π。（p信号是周期信号）

抽样就是平移到整数倍的ωs上，如果ωs>2Wm不会出现混叠，反之会出现混叠导致信号无法恢复。

对采样定理的理解不是很透彻，再看看B站湖南大学老师的讲解BV：1Cx411X7aC

总结：①信号f(t)与周期冲击信号相乘得到离散的信号，f(t)控制高度，p(t)控制间隔。②冲击序列的傅里叶变换还是冲击序列，f(t)是有限的带宽，从而存在一个频率的范围。③时域相乘，频域卷积。卷积从图形上理解是一种图像变换，与冲击序列卷积相当把原来的带宽平移到冲击序列对应位置(nωs)。