3 操作臂运动学

3.1 引言

运动学只研究运动特性，不考虑施加的力。
操作臂运动学涉及所有与运动有关的几何参数和与时间有关的性质。
本章重点是把操作臂关节变量作为自变量，描述操作臂末端执行器与操作臂基座之间的函数关系。

3.2 连杆的描述

操作臂=以关节连成的运动链的刚体。这些刚体称为连杆。
刚体间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，称为低副。低副有6种，转动副，移动副，圆柱副，平面副，螺旋副和球面副。
设计机器人时，优先选择一个自由度的关节。（转动、移动关节）
基座定义为连杆0，第一个可动连杆定义为连杆1，以此类推，最后一个为连杆n。为实现任何位置和姿态，需要至少6个关节。
连杆i绕关节轴i相对于连杆i-1转动，轴i-1与轴i之间的距离ai−1a_{i-1}ai−1即为连杆i-1的长度，夹角为αi−1\alpha_{i-1}αi−1。夹角按照右手定则，绕公垂线从i-1转向轴线i。

3.3 连杆连接的描述

处于运动链中间的连杆
相邻两个连杆之间有一个公共转轴，沿两个连杆公共轴线方向的距离可以用连杆偏距来描述。关节轴i上的偏距记为did_idi；两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角称为关节角，记为θi\theta_iθi。

当关节i为移动关节时，did_idi是一个变量；
当关节i为转动关节时，θi\theta_iθi是一个变量。

运动链中首末端连杆
如果1为转动关节，θ1\theta_1θ1的零位任取，d1d_1d1=0；
如果1为移动关节，d1d_1d1的零位任取，θ1\theta_1θ1=0。

a0=an=0a_0=a_n=0a0=an=0，α0=αn=0\alpha_0=\alpha_n=0α0=αn=0

连杆参数
每个连杆用4个参数来表达，2个用来描述连杆本身，2个用来描述相互之间的连接关系。

转动关节：θi\theta_iθi为关节变量，其他三个参数固定不变
移动关节：did_idi为关节变量，其他三个参数固定不变

连杆参数描述机构运动关系的方法称为Denavit-Hartenber方法。一个6关节机器人，18个参数即可描述这些固定的运动参数，如果是6个转动关节，则18个参数可以分为6组，(ai,αi,di)(a_i,\alpha_i,d_i)(ai,αi,di)。

3.4 连杆坐标系的定义

为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，在每个连杆上定义一个固连坐标系，连杆i对应坐标系{i}。
运动链中间位置连杆坐标系的定义
Z轴与关节轴重合，原点位于公垂线与关节轴交点处，X轴沿公垂线指向下一个关节轴，Y轴遵循右手定则。
运动链首末端连杆坐标系的定义
基座（连杆0）上的坐标系固定不动，一般作为参考坐标系。参考坐标系可任意设定，但通常设定Z^0\hat Z_0Z^0轴沿关节轴1的方向，且当关节变量1为0时，坐标系{0}与坐标系{1}重合。因此总有a0=0,α0=0a_0=0, \alpha_0=0a0=0,α0=0。对转动关节而言，d1=0d_1=0d1=0，对移动关节而言，θ1=0\theta_1=0θ1=0。

对于转动关节n，当θn=0\theta_n=0θn=0时，X^N\hat X_NX^N与X^N−1\hat X_{N-1}X^N−1方向相同，选择{N}的原点，使之满足dn=0d_n=0dn=0。
对于移动关节n，设定X^N\hat X_NX^N轴的方向使之满足θN=0\theta_N=0θN=0，当dn=0d_n=0dn=0时选取坐标系{N}的原点位于X^N−1\hat X_{N-1}X^N−1轴与关节轴n的交点。

连杆参数在坐标系中的表示方法
aia_iai：沿X^i\hat X_iX^i轴，从Z^i\hat Z_iZ^i移动到Z^i+1\hat Z_{i+1}Z^i+1轴的距离
αi\alpha_iαi：绕X^i\hat X_iX^i轴，从Z^i\hat Z_iZ^i旋转到Z^i+1\hat Z_{i+1}Z^i+1轴的角度
did_idi：沿Z^i\hat Z_iZ^i轴，从X^i−1\hat X_{i-1}X^i−1移动到X^i\hat X_iX^i轴的距离
θi\theta_iθi：沿X^i\hat X_iX^i轴，从X^i−1\hat X_{i-1}X^i−1旋转到X^i\hat X_iX^i轴的角度

连杆坐标系的建立步骤

找出各关节轴，并标出轴的延长线
找出轴i与轴i+1之间的公垂线或两轴之间的交点，以此交点或公垂线与i轴交点为原点，确定坐标系{i}的原点
规定Z^i\hat Z_iZ^i轴的指向
规定X^i\hat X_iX^i轴沿着公垂线的指向，如为相交两周，则规定垂直两轴平面的指向
按照右手定则确定Y^i\hat Y_iY^i轴的指向
当第一个关节变量为0时，令坐标系{0}与坐标系{1}重合。对于坐标系{N}，其原点和X^N\hat X_NX^N的方向可以任意选取，选取时尽量使两岸参数为0。

3.5 操作臂运动学

推导相邻连杆之间坐标变换的一般形式，然后将这些独立的变换联系起来求出连杆n对于连杆0的位置和姿态，是本节的核心。
连杆变换的推导
这里用到了科学方法论，将此问题分解成n个ii−1T^{i-1}_iTii−1T的求解，再将单个ii−1T^{i-1}_iTii−1T分解成4个独立变换，每个变换对应一个连杆参数
坐标系i对于坐标系i-1的推导，即ii−1T^{i-1}_iTii−1T

取三个中间坐标系，{P},{Q},{R}
由于旋转了αi−1\alpha_{i-1}αi−1，{R}与{i-1}不同
由于平移了ai−1a_{i-1}ai−1，{Q}与{R}不同
由于旋转了θi\theta_iθi，{P}与{Q}不同
由于平移了did_idi，{i}与{P}不同

因此如果想把坐标系{i}中的矢量变换成{i-1}中的矢量，即可写成：
i−1P=Ri−1TPQTiPTiP=ii−1TP^{i-1}P=^{i-1}_RT^Q_PT^P_iT^iP=^{i-1}_iTPi−1P=Ri−1TPQTiPTiP=ii−1TP
即：ii−1T=Ri−1TQRTPQTiPT^{i-1}_iT=^{i-1}_RT^R_QT^Q_PT^P_iTii−1T=Ri−1TQRTPQTiPT
由上述变换，则可写成ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)^{i-1}_iT=R_X(\alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z(\theta_i)D_Z(d_i)ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)
还可写成ii−1T=ScrewX(ai−1,αi−1)Screw(di,θi)^{i-1}_iT=Screw_X(a_{i-1},\alpha_{i-1})Screw(d_i,\theta_i)ii−1T=ScrewX(ai−1,αi−1)Screw(di,θi)，Screw为算子，表示先平移再旋转
连乘即可得到结果：
ii−1T=(cθi−sθi0ai−1sθicαi−1cθicαi−1−sαi−1−sαi−1disθisαi−acθisαi−1cαi−1cαi−1di0001)^{i-1}_iT=\left(\begin{matrix} c\theta_i & -s\theta_i & 0 & a_{i-1}\\ s\theta_ic\alpha_{i-1} & c\theta_ic\alpha_{i-1} & -s\alpha_{i-1} & -s\alpha{i-1}d_i\\ s\theta_is\alpha_{i-a} & c\theta_is\alpha_{i-1} & c\alpha_{i-1} & c\alpha_{i-1}d_i\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right)ii−1T=⎝⎜⎜⎛cθisθicαi−1sθisαi−a0−sθicθicαi−1cθisαi−100−sαi−1cαi−10ai−1−sαi−1dicαi−1di1⎠⎟⎟⎞
连杆变换的连乘N0T=10T21T⋯NN−1T^0_NT=^0_1T^1_2T \cdots ^{N-1}_{N}TN0T=10T21T⋯NN−1T，是关于n个关节变量的函数，如果通过传感器测出每个关节变量，即可计算出末端位置和姿态。

3.6 驱动空间、关节空间和笛卡尔空间

n个关节变量组成一个nx1的关节向量，所有关节向量组成的空间被称作关节空间。相应的有驱动空间和笛卡尔空间。从驱动空间→\to→关节空间→\to→笛卡尔空间的计算被称为正运算，反之为逆运算。

3.7 实例：两种工业机器人的运动学问题

分别是Unimation公司的PUMA 560机器人和Yasukawa公司的Motoman L-3机器人。

3.8 坐标系的标准命名

基座标系{B}： 即基座上的坐标系{0}
固定坐标系{S}： 桌子角上的坐标系，也叫任务坐标系、世界坐标系或通用坐标系
腕部坐标系{W}： 操作臂末端连杆上的坐标系，也叫{N}，原点位于操作臂手腕上
工具坐标系{T}： 附于机器人所夹持工具的末端，没有工具时，原点位于机器人的指尖之间
目标坐标系{G}： 对机器人移动工具要达到的位置的描述，即运动结束时，工具坐标系需与目标坐标系重合

3.9 工具的位置

变换方程TST=SBT−1WBTTWT^S_T{T} = ^B_ST^{-1}{^B_WT}^W_TTTST=SBT−1WBTTWT一般被称为定位函数，用它可以计算手臂的位置。

3.10 计算问题

浮点数or定点数表示变量，由于变化范围较小，用定点数表示可以减少运算量。
做因式分解，以增加局部变量的代价减少乘法和加法次数。
正余弦采用查表法。
姿态求解时，先计算前两列，第三列是前两列做叉乘。

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