用matlab符号计算求解二元函数极值

需求：求解二元函数 y=f(x1,x2)

=(339-0.01*x1-0.003*x2)*x1

+(399-0.004*x1-0.01*x2)*x2

-(400000+195*x1+225*x2) 的最大值

步骤：

1、syms x1 x2;

2、y=(339-0.01*x1-0.003*x2)*x1+(399-0.004*x1-0.01*x2)*x2-(400000+195*x1+225*x2)

得 y = - 195*x1 - 225*x2 - x1*(x1/100 + (3*x2)/1000 - 339) - x2*(x1/250 + x2/100 - 399) - 400000

3、y=simple(y)

得 y = - x1^2/100 - (7*x1*x2)/1000 + 144*x1 - x2^2/100 + 174*x2 - 400000

4、求偏导 dydx1=diff(y,x1)

得 dydx1 = 144 - (7*x2)/1000 - x1/50

dydx2=diff(y,x2)

得 dydx2 = 174 - x2/50 - (7*x1)/1000

5、令偏导等于0，解方程 S=solve(dydx1,dydx2)

得 S = x1: [1x1 sym]

x2: [1x1 sym]

6、显示结果 S.x1

得 ans = 554000/117

S.x2

得 ans = 824000/117

7、把得到的结果代入原f(x1,x2)，求最大y值:

y=subs(y,x1,554000/117);

y=subs(y,x2,824000/117)

得 y = 5.5364e+005

当然，该最大值是不是真正的最大值，还需要进一步结合实际情况验证（通过画出图形，观察二阶导数的符号等）。比如，syms x1 x2; y=(339-0.01*x1-0.003*x2)*x1+(399-0.004*x1-0.01*x2)*x2-(400000+195*x1+225*x2);然后使用 ezsurf(y,[0 10000],[0 10000]);就可以得到三维的图形如下图所示：

可以看到，在感兴趣区间内，函数是有最大值的，即上面求出的y = 5.5364e+005，在x1=554000/117，x2=824000/117处取得。

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