文章目录

一、线性无关解
二、有重根下的通解
二、有重根下的通解写法
三、有重根下的递推方程求解示例
四、递推方程公式解法总结

一、线性无关解

线性无关解 :

如果 qqq 是递推方程的 eee 重特征根 , 则

qn,nqn,n2qn,⋯,ne−1qnq^n , nq^n , n^2q^n , \cdots , n^{e-1}q^nqn,nqn,n2qn,⋯,ne−1qn

是递推方程的线性无关的解 ;

eee 是特征根的重数 ;

二、有重根下的通解

q1,q2,⋯,qtq_1, q_2, \cdots , q_tq1,q2,⋯,qt 是递推方程的不相等的特征根 , 有 ttt 个不相等的特征根 ,

qiq_iqi 的重数是 eie_iei ,

某一个特征根 qiq_iqi , 其重复度是 eie_iei , 该特征根对应的通解中的项是 :

Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qinH_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^nHi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin

上述通解项的系数中 , 含有 eie_iei 个项 , 这 eie_iei 个项的常数之外的 nnn 次幂取值是从 000 到 ei−1e_i - 1ei−1 ,

该递推方程通解是 : H(n)=∑i=1tHi(n)H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)H(n)=i=1∑tHi(n)

二、有重根下的通解写法

有重根下的通解形式列出 :

1 . 特征根数 : q1,q2,⋯,qtq_1, q_2, \cdots , q_tq1,q2,⋯,qt 是递推方程特征根 , 不相等的特征根数 ttt ;

2 . 根据特征根写出通解中的项 Hi(n)H_i(n)Hi(n) : 特征根 qiq_iqi , 重复度 eie_iei , 其中 iii 的取值是 000 到 ttt ; 第 iii 个特征根对应的通解项 , 记作 Hi(n)H_i(n)Hi(n) ;

( 1 ) 组成 : 系数项乘以 qinq_i^nqin ;
( 2 ) 系数项 :
- ① 个数 : 有 eie_iei 项 ; 系数项的个数 , 就是该特征根的重复度 ;
- ② 形式 : 常数乘以 nnn 的次幂 ; 如 : nei−1n^{e_i-1}nei−1 , 这里有 eie_iei 个常数 ;
  - 1 >常数 : 常数下标是从 ci1c_{i1}ci1 到 cieic_{ie_i}ciei , 下标的右侧部分是 111 到 eie_iei ;
  - 2 >nnn 的次幂 : 幂的取值是从 000 到 ei−1e_i - 1ei−1 ;
  - 3 >建议排列方式 : 常数和次幂 , 最好都从小到大排列 , 常数下标与 nnn 的幂相差 111 ;
( 3 ) 通解第 iii 项 : Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qinH_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^nHi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin

3 . 写出通解 :

( 1 ) 通解项数 : 特征根数 ttt ;
( 2 ) 通解组成 : 每个特征根对应的通解项 , 加到一起 , 就是完整的通解 ;
( 3 ) 最终结果 : H(n)=∑i=1tHi(n)H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)H(n)=i=1∑tHi(n)

三、有重根下的递推方程求解示例

求解方法 :

1 . 特征方程 :

( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是 000 ;

该递推方程目前就是标准形式 ;

( 2 ) 特征方程项数 : 确定特征方程项数 , 与递推方程项数相同 ;

555 项 ;

( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是特征方程项数 −1-1−1 , 最低次幂 000 ;

xxx 的次幂从 000 到 444 ;

( 4 ) 写出没有系数的特征方程 ;

x4+x3+x2+x+1=0x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0x4+x3+x2+x+1=0

( 5 ) 逐位将递推方程的系数抄写到特征方程中 ;

x4+x3−3x2−5x−2=0x^4 + x^3 - 3x^2 -5 x -2 = 0x4+x3−3x2−5x−2=0

2 . 解特征根 : 将特征方程的特征根解出来 , x=−b±b2−4ac2ax = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac

解出的特征根是 −1,−1,−1,2-1, -1, -1, 2−1,−1,−1,2 ;

3 . 构造递推方程的通解 :

( 1 ) 无重根 : 构造 c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknc_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nc1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的通解 ;

( 2 ) 有重根 : 参考下面的 “有重根下的通解形式列出” 内容 ;

此处的情况属于有重根的情况 , 参考下面的解法 :

重根 −1-1−1 项需要按照重根的通解项规则写 ;

非重根 222 , 可以按照一般的形式写出 , 即 c42nc_42^nc42n , c4c_4c4 是常数 , 444 代表这是第 444 个特征根 ;

重根是 −1-1−1 , 重复度是 333 ;

H1(n)H_1(n)H1(n) 代表该重根项 , 该项由系数项乘以 (−1)n(-1)^n(−1)n 组成 ;

系数项中有 333 项 ; 每个系数项的形式是常数乘以 nnn 的幂 ;

常数使用 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 表示 , nnn 的幂取值是 000 到 222 ( 系数项个数 −1-1−1 ) ;

写出 −1-1−1 特征根对应的通解项 : H1(n)=(c1+c2n+c3n2)(−1)nH_1(n) = (c_1 + c_2n + c_3n^2)(-1)^nH1(n)=(c1+c2n+c3n2)(−1)n

完整的通解是 :

H(n)=(c1+c2n+c3n2)(−1)n+c42nH(n) = (c_1 + c_2n + c_3n^2)(-1)^n + c_42^nH(n)=(c1+c2n+c3n2)(−1)n+c42n

4 . 求通解中的常数 :

( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 kkk 个 kkk 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

{(c1+0c2+02c3)(−1)0+20c4=F(0)=1(c1+1c2+12c3)(−1)1+21c4=F(1)=0(c1+2c2+22c3)(−1)2+22c4=F(2)=1(c1+3c2+32c3)(−1)3+23c4=F(3)=2\begin{cases} ( c_1 + 0c_2 + 0^2c_3 )(-1)^0 + 2^0c_4 = F(0) = 1 \\\\ ( c_1 + 1c_2 + 1^2c_3 )(-1)^1 + 2^1c_4 = F(1) = 0 \\\\ ( c_1 + 2c_2 + 2^2c_3 )(-1)^2 + 2^2c_4 = F(2) = 1 \\\\ ( c_1 + 3c_2 + 3^2c_3 )(-1)^3 + 2^3c_4 = F(3) = 2 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧(c1+0c2+02c3)(−1)0+20c4=F(0)=1(c1+1c2+12c3)(−1)1+21c4=F(1)=0(c1+2c2+22c3)(−1)2+22c4=F(2)=1(c1+3c2+32c3)(−1)3+23c4=F(3)=2

化简后为 :

{c1+c4=1−c1−c2−c3+2c4=0c1+2c2+4c3+4c4=1−c1−3c2−9c3+8c4=2\begin{cases} c_1 +c_4= 1 \\\\ -c_1 - c_2 - c_3 + 2c_4 = 0 \\\\ c_1 +2 c_2 +4 c_3 + 4c_4= 1 \\\\ -c_1 - 3c_2 - 9c_3 + 8c_4= 2 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧c1+c4=1−c1−c2−c3+2c4=0c1+2c2+4c3+4c4=1−c1−3c2−9c3+8c4=2

解上述 444 个常数值为 : c1=79,c2=−13,c3=0,c4=29c_1 = \cfrac{7}{9}, c_2 = -\cfrac{1}{3}, c_3 = 0, c_4 = \cfrac{2}{9}c1=97,c2=−31,c3=0,c4=92

( 2 ) 代入常数获得通解 : 将常数代入通解 , 就可以得到最终的递推方程的解 ;

完整的通解 :

H(n)=79(−1)n−13(−1)n+292nH(n) = \cfrac{7}{9} (-1)^n - \cfrac{1}{3} (-1)^n + \cfrac{2}{9}2^nH(n)=97(−1)n−31(−1)n+922n

四、递推方程公式解法总结

递推方程求解完整过程 :