概率统计（在更）

一：
二：
三：
四：随机变量+分布
- 1.随机变量+分布函数
- 2.离散型随机变量:
- 3.连续型随机变量
- 4.
五：
六：
七：随机变量的数字特征
- (一)数学期望+中位数
- (二)方差+标准差
- (三)协方差+相关系数
- (四)切比雪夫不等式+大数律
- (五)中心极限定理

参考：工程数学概率统计简明教程（第二版）同济大学数学系编

一：

二：

三：

四：随机变量+分布

1.随机变量+分布函数

1.随机变量：随机+变量 ——> 将随机事件结果存入到变量中

例子：

1.题目描述：在系统{m个红球+n个白球}中，随机取一球，观察该球的颜色是什么。
步骤：
1.明确随机事件的结果：一个球的颜色（一个颜色）
所以得出该试验的样本空间:{红红红...(共n个)；白白白...(共n个)}
2.我们可以这样数量化随机事件结果类型：
——0：结果抽到一个红球
——1：结果抽到一个白球
3.定义一个变量X，去存放上面的0和1，也就是X=0，1
4.重新表示随机事件：
——p(X=0) = p(抽到白球)
——p(X=1) = p(抽到红球)
注意：新手不要把X=1的形式看作是一个数值，而应看作是一个随机事件，当遇到P(X≥x) 的形式，应该把X≥x看成一个事件的集合，即很多个事件的组合！

2.随机变量的分布函数：

拿一个函数来用作分布函数：F(x)∈【0，1】，其中，x∈R
其中：F(x)=p(X≤x)，
也就是说，F(x)的值其实就是一堆事件的概率。
之所以称为“分布函数”，是因为需要将概率P(X)映射到二维坐标中
即X≤x 的事件的确定取决于自变量x，其中x经常以X的值进行划分区间

例子：

题目：设X= -1，2，3，且可求出p(X=-1)=1/6；p(X=2)=1/2；p(X=3)=1/3; 求X的分布函数：
步骤：
1.用X对x划分3+1个区间：x<-1 ; -1≤x<2 ; 2≤x<3 ; x≥3
2.当x<-1 时：F(x)=p(X≤x)=0（不可能事件）
3.当-1≤x<2 时：F(x)=p(X≤x)=p(X=-1)
4.当 2≤x<3 时：F(x)=p(X≤x)=p(X=-1)+p(X=2)
5.当 x≥3 时：F(x)=p(X≤x)=1（必然事件）
6.用大括号表示分布函数即可。

巩固：

如果已知F(x)，让你求p(a<X≤b):
步骤：
1.解读：我们知道a<X≤b表示一个范围内的事件（事件集合），
2.所以，如果你做这样的假设：{a<X≤b} + {X≤a} = {X≤b} 是成立的。你可以画一个数轴鉴定一下。
那为这么要做这样的假设？因为我们的分布函数需要X≤b
那么：p(a<X≤b) = p(X≤b) - p(X≤a)
3.由画分布函数图我们可以看得出来：p(X≤b) = F(b)
所以答案就是：p(a<X≤b) = p(X≤b) - p(X≤a) =F(b) - F(a)

2.离散型随机变量:

像上面的形式，就是离散型变量，即X的取值是断点，而不是一整个区间。所以离散型随机变量其实我们就讲完了。
下面补充2个知识点：

1.通常我们用一个表来表示X和P的值（X的分布律）：

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

其中，概率p的总和=1，这个方程也会有用，毕竟是一个方程。
2.常用的离散分布模型：

1. 泊松分布：公式百度
2. 0-1分布：你懂的
3.二项分布：最常用—— 记作：X~B(n,p)，公式百度
4.几何分布：百度
5.超几何分布：百度

3.连续型随机变量

引言：

还记得这个求法吗：当 2≤x<3 时：F(x)=p(X≤x)=p(X=-1)+p(X=2)
此时，X是点值。
即：需要把区间【2，3】内所有的X事件的概率加起来。这时，

因为X的数值是离散的，所以对应的概率也是离散的，所以需要一个一个加。
但如果X的取值是连续的呢？不再是一个点值，而是一个区间，那么，此时X取点值的概率就等于0。为什么呢？因为你在连续的世界使用离散，就相当于不可能事件，所以概率为0。后面就需要使用微积分的知识了。

补充微积分小知识：

学过微积分的你，至少要明白：
求微分：本质上就是求原函数的导数
求积分：本质上就是求导数的原函数
定积分用来求和，它表示求每一小块面积：高f(x)·宽△x，并加起来
并记住它的形式：
∫下限上限f(x)dx.\int_{下限}^{上限} f(x)dx\,. ∫下限上限f(x)dx.
当下限是常数，但上限是变量x（已默认：上限>下限），那么这个定积分将是不固定的。也就是它由一个值变成了一个函数：
令F(x)=∫下限xf(t)dt.令F(x) = \int_{下限}^{x} f(t)dt\,. 令F(x)=∫下限xf(t)dt.
每当上限的值一改变，那么这个定积分就对应改变。所以说，原本定积分本来只是一个值（累加的一个结果），但是，当你把上限变成一个变量（下限固定为常数），那么这就不再是一个定积分，而是一个函数(即一个集合)。
——————————————————
上面所说的这个新的函数非常重要（记为F(x)），因为它跟被积函数f(x)有关系：F(x)' = f(x), （x∈（下限，x的最大值））
你没看错，就是导数关系

别跑题了——>连续型随机变量：

通过上面的了解，我们做下面几个约定：
1.如果F(x)是一个随机变量的分布函数，即：F(x)=P(X≤x) ∈[0,1]
2.那么F′(x)=（∫下限xf(t)dt）′=f(x).F'(x) = {（\int_{下限}^{x} f(t)dt）}'=f(x)\,. F′(x)=（∫下限xf(t)dt）′=f(x).
此时，称：f(x)也就是导数为随机变量X的概率密度函数（简称：密度函数）
新手可能会混乱的区别：
1.∫常数下限xf(t)dt）=？\int_{常数下限}^{x} f(t)dt）=？ ∫常数下限xf(t)dt）=？
2.F(x)=?F(x) = ? F(x)=?
3.f(x)=?f(x) = ? f(x)=?
自己从上面找答案并区别开。

有什么用：

从上面我们看得出来：
F(x)=P(X≤x)=∫下限xF(x)′dt=∫下限xf(x)dt.F(x) =P(X≤x)= \int_{下限}^{x} F(x) 'dt=\int_{下限}^{x} f(x) dt\,. F(x)=P(X≤x)=∫下限xF(x)′dt=∫下限xf(x)dt.
F(a)=P(X≤a)=∫下限aF(x)′dt=∫下限af(x)dt.F(a) =P(X≤a)= \int_{下限}^{a} F(x) 'dt=\int_{下限}^{a} f(x) dt\,. F(a)=P(X≤a)=∫下限aF(x)′dt=∫下限af(x)dt.
F(b)=P(X≤b)=∫下限bF(x)′dt=∫下限bf(x)dt.F(b) =P(X≤b)= \int_{下限}^{b} F(x) 'dt=\int_{下限}^{b} f(x) dt\,. F(b)=P(X≤b)=∫下限bF(x)′dt=∫下限bf(x)dt.
所以，引入密度函数f(x)其实是用来求分布函数F(x)的。
下面重复几个前面初略涉及过的结论：
1.F(x)=P(X≤x),因为所以概率P总和=1，所以所有的F(x)的值加起来是1

即：∫−∞+∞F(x)′dt=∫−∞+∞f(x)dt=1.即：\int_{-∞}^{+∞} F(x) 'dt=\int_{-∞}^{+∞} f(x) dt=1\,. 即：∫−∞+∞F(x)′dt=∫−∞+∞f(x)dt=1.
2.密度函数f(x)可以看作是一个个概率，因为它的积分是所有概率之和。
——所以f(x)必须≥0
3.因为：p(a<X≤b) = p(X≤b) - p(X≤a) =F(b) - F(a)
所以：p(a<X≤b))=∫下限bf(x)dt−∫下限af(x)dt.所以：p(a<X≤b))= \int_{下限}^{b} f(x) dt-\int_{下限}^{a} f(x) dt\,. 所以：p(a<X≤b))=∫下限bf(x)dt−∫下限af(x)dt. 所以：p(a<X≤b)=∫abf(x)dt.所以：p(a<X≤b)= \int_{a}^{b} f(x) dt\,. 所以：p(a<X≤b)=∫abf(x)dt.
好好结合上面的介绍，相信不难看懂！

4.

五：

六：

七：随机变量的数字特征

(一)数学期望+中位数

X	x1	x2	…
P	p1	p2	…

(二)方差+标准差

(三)协方差+相关系数

(四)切比雪夫不等式+大数律

(五)中心极限定理

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一：

二：

三：

四：随机变量+分布

1.随机变量+分布函数

2.离散型随机变量:

3.连续型随机变量

4.

五：

六：

七：随机变量的数字特征

(一)数学期望+中位数

(二)方差+标准差

(三)协方差+相关系数

(四)切比雪夫不等式+大数律

(五)中心极限定理

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