本文仅分析了softmax_layer.cpp 和 softmax_loss_layer.cpp两个文件中的forward函数，backward函数有待补充。

1、softmax_layer.cpp

softmax function

设有m个已标记样本，σ(z)=(σ1(z),σ2(z),...,σm(z))\sigma\mathit(z)=(\sigma_1(\mathit{z}),\sigma_2(\mathit{z}),...,\sigma_m(\mathit{z}))定义：

σi(z)=exp(zi)∑mj=1exp(zj),i=1,...,m

\sigma_\mathit{i}(\mathit{z})=\frac{\exp(z_i)}{\sum_{j=1}^m\exp(z_j)},\quad i=1,...,m
其中， σi(z)\sigma_\mathit{i}(\mathit{z})是loss层的输入； zi=WTix+biz_i=W_i^Tx+b_i,表示第i类的线性预测结果， WTiW_i^T为权重， bib_i为偏置值。
带入softmax进行计算其实就是先对每一个ziz_i取exponential变为非负，然后除以所有项之和进行归一化。
在softmax_layer.cpp中，可以将forward函数比较直观的表现为以下形式：

hθ(x(i))=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢p(y(i)=1|x(i);θ)p(y(i)=2|x(i);θ)⋮p(y(i)=k|x(i);θ)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=1∑kl=1eθTjx(i)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢eθT1x(i)eθT2x(i)⋮eθTkx(i)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

h_\theta\left(x^\mathit{(i)}\right)=\left[\begin{matrix}p(y^\mathit{(i)}=1|x^\mathit{(i)};\theta)\\p(y^\mathit{(i)}=2|x^\mathit{(i)};\theta)\\\vdots\\p(y^\mathit{(i)}=k|x^\mathit{(i)};\theta)\end{matrix}\right]=\frac{1}{\sum_{l=1}^ke^\mathit{\theta_j^Tx^\mathit{(i)}}}\left[\begin{matrix}e^\mathit{\theta_\mathsf{1}^Tx^\mathit{(i)}}\\e^\mathit{\theta_\mathsf{2}^Tx^\mathit{(i)}}\\\vdots\\e^\mathit{\theta_\mathsf{k}^Tx^\mathit{(i)}}\end{matrix}\right]
在 softmax.cpp中 forward函数代码：

template <typename Dtype>
void SoftmaxLayer<Dtype>::Forward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom,const vector<Blob<Dtype>*>& top) {const Dtype* bottom_data = bottom[0]->cpu_data();Dtype* top_data = top[0]->mutable_cpu_data();Dtype* scale_data = scale_.mutable_cpu_data();int channels = bottom[0]->shape(softmax_axis_);int dim = bottom[0]->count() / outer_num_;caffe_copy(bottom[0]->count(), bottom_data, top_data);// We need to subtract the max to avoid numerical issues, compute the exp,// and then normalize.for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) {// initialize scale_data to the first planecaffe_copy(inner_num_, bottom_data + i * dim, scale_data);for (int j = 0; j < channels; j++) {for (int k = 0; k < inner_num_; k++) {scale_data[k] = std::max(scale_data[k],bottom_data[i * dim + j * inner_num_ + k]);}}// subtractioncaffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, channels, inner_num_,1, -1., sum_multiplier_.cpu_data(), scale_data, 1., top_data);// exponentiationcaffe_exp<Dtype>(dim, top_data, top_data);// sum after expcaffe_cpu_gemv<Dtype>(CblasTrans, channels, inner_num_, 1.,top_data, sum_multiplier_.cpu_data(), 0., scale_data);// divisionfor (int j = 0; j < channels; j++) {caffe_div(inner_num_, top_data, scale_data, top_data);top_data += inner_num_;}}
}

代码不多，针对Line 21至Line 32分析如下：
1、//division

top_data=top_data/scale_data;
top_data=top_data+inner_num_;

2、//sum after exp

scale_data=top_data*sum_multiplier_.cpu_data()

分析：求和，每一层各自求和放到scale_data中
3、//exponentiation

top_data=exp(top_data)

分析：比较直观，能看出是在exponentiation。函数caffe_exp()的第一个参数是dim，那么应该是对K维列向量做exp
4、//subtraction

通过矩阵相乘的方式来计算，有channels层的top_data，每层元素减去该层的最大值

2、softmax_loss_layer.cpp

softmax loss function

根据上面讲到的softmax函数，假设x属于第i类，我们要最大似然化σi(z)\sigma_i(z)，通常使用negtive log-likelihood ,也就是要最小化−log(oy)-log(o_y)的值。
loss function:

J(θ)=−1m⎡⎣∑i=1m∑j=1k1{y(i)=j}logeθTjx(i)∑kl=1eθTjx(i)⎤⎦

J(\theta)=-\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k1\{y^\mathit{(i)}=j\}log\frac{e^\mathit{\theta_j^Tx^\mathit{(i)}}}{\sum_{l=1}^ke^\mathit{\theta_j^Tx^\mathit{(i)}}}\right]
其中， 1{y(i)=j}1\{y^\mathit{(i)}=j\}为示性函数。
在 softmax_loss_layer.cpp中forward函数代码：

template <typename Dtype>
void SoftmaxWithLossLayer<Dtype>::Forward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom, const vector<Blob<Dtype>*>& top) {// The forward pass computes the softmax prob values.softmax_layer_->Forward(softmax_bottom_vec_, softmax_top_vec_);const Dtype* prob_data = prob_.cpu_data();//定义了一个指针指向最初的可能值const Dtype* label = bottom[1]->cpu_data();//原始的labelint dim = prob_.count() / outer_num_;//输入图像类的个数int count = 0;Dtype loss = 0;for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) {//outer_num_=batch_sizefor (int j = 0; j < inner_num_; j++) {//inner_num_的存在可解决多标签问题，对于单一标签问题inner_num_=1const int label_value = static_cast<int>(label[i * inner_num_ + j]);//对于多标签问题还不是很理解，在单一标签问题中inner_num_=1,那么label[i * inner_num_ + j]表示第i * inner_num_ + j个输入图像的标签值，label[i * inner_num_ + j]一定属于[0,输入图像类别数-1]if (has_ignore_label_ && label_value == ignore_label_) {continue;}DCHECK_GE(label_value, 0);DCHECK_LT(label_value, prob_.shape(softmax_axis_));loss -= log(std::max(prob_data[i * dim + label_value * inner_num_ + j],Dtype(FLT_MIN)));//对于单标签问题，每张图像经过计算后都会输出一个dim×1大小的矩阵（列向量），矩阵中的第k个值表示该图像属于第k类的概率；prob_data[i * dim + label_value * inner_num_ + j]表示第i个输入图像属于第label_value的概率。++count;}}if (normalize_) {top[0]->mutable_cpu_data()[0] = loss / count;} else {top[0]->mutable_cpu_data()[0] = loss / outer_num_;}if (top.size() == 2) {top[1]->ShareData(prob_);}
}

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