UA OPTI512R 傅立叶光学导论3 用复变函数表示物理量

这一篇就当番外吧，毕竟物理中确实有很多时候会用复数来表示物理量，比如time-harmonic electric field
E=E0ei(k⋅r−wt)\textbf E = \textbf E_0e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)}E=E0ei(k⋅r−wt)

明明只用实部就可以表示这个电场，虚部看起来也没物理意义，但为什么要用复变函数表示呢？

考虑函数
v(x)=Acos⁡(2πξ0x+ϕ(ξ0))v(x)=A\cos(2\pi \xi_0x+\phi(\xi_0))v(x)=Acos(2πξ0x+ϕ(ξ0))

其中AAA是振幅（amplitude），ξ0\xi_0ξ0是频率（spatial frequency），ϕ(ξ0)\phi(\xi_0)ϕ(ξ0)是初始相位（initial phase）。它可以表示为
v(x)=Re[Aejϕ(ξ0)ej2πξ0x]v(x)=Re[Ae^{j\phi(\xi_0)}e^{j2\pi \xi_0 x}]v(x)=Re[Aejϕ(ξ0)ej2πξ0x]

其中jjj代表虚数单位j2=−1j^2=-1j2=−1，将Aejϕ(ξ0)Ae^{j\phi(\xi_0)}Aejϕ(ξ0)视为整体，称其为复振幅（complex amplitude），记为u~∗\tilde u^*u~∗（这里的*表示共轭），则
v(x)=Re[u~∗ej2πξ0x]v(x)=Re[\tilde u^*e^{j2\pi \xi_0 x}]v(x)=Re[u~∗ej2πξ0x]

例
v1(x)=A1cos⁡(2πξ0x)v2(x)=A2cos⁡(2πξ0x+ϕ)v_1(x)=A_1\cos(2\pi \xi_0x) \\ v_2(x)=A_2 \cos(2\pi \xi_0x+\phi)v1(x)=A1cos(2πξ0x)v2(x)=A2cos(2πξ0x+ϕ)

它们的复数表示为
v1(x)=Re[A1ej0ej2πξ0x]=Re[u~1∗ej2πξ0x]v2(x)=Re[A2ejϕej2πξ0x]=Re[u~2∗ej2πξ0x]v_1(x)=Re[A_1e^{j0}e^{j2\pi\xi_0x}]= Re[\tilde u_1^*e^{j2\pi \xi_0x}]\\ v_2(x)=Re[A_2e^{j\phi}e^{j2\pi \xi_0x}]=Re[\tilde u_2^*e^{j2\pi \xi_0x}]v1(x)=Re[A1ej0ej2πξ0x]=Re[u~1∗ej2πξ0x]v2(x)=Re[A2ejϕej2πξ0x]=Re[u~2∗ej2πξ0x]

这样表示的好处是算乘法和乘幂会很容易，但一般大家的认知是加法用复数表示反而没有那么方便，我们来尝试一下
v1(x)+v2(x)=A1cos⁡(2πξ0x)+A2cos⁡(2πξ0x+ϕ)=A1cos⁡(2πξ0x)+A2cos⁡(2πξ0x)cos⁡(ϕ)−A2sin⁡(2πξ0x)sin⁡(ϕ)=−A2sin⁡(ϕ)sin⁡(2πξ0x)+[A1+A2cos⁡(ϕ)]cos⁡(2πξ0x)=[A2sin⁡(ϕ)]2+[A1+A2cos⁡(ϕ)]2cos⁡(2πξ0x−arctan⁡−A2sin⁡(ϕ)A1+A2cos⁡(ϕ))v_1(x)+v_2(x)=A_1\cos(2\pi \xi_0x)+A_2 \cos(2\pi \xi_0x+\phi) \\ = A_1\cos(2\pi \xi_0x)+A_2\cos(2\pi \xi_0x) \cos(\phi)-A_2\sin(2 \pi \xi_0 x)\sin(\phi) \\ = -A_2\sin(\phi)\sin(2 \pi \xi_0 x)+[A_1+A_2\cos(\phi)]\cos(2\pi \xi_0x) \\ = \sqrt{[A_2\sin(\phi)]^2+[A_1+A_2\cos(\phi)]^2}\cos(2\pi \xi_0 x-\arctan \frac{-A_2\sin(\phi)}{A_1+A_2 \cos(\phi)})v1(x)+v2(x)=A1cos(2πξ0x)+A2cos(2πξ0x+ϕ)=A1cos(2πξ0x)+A2cos(2πξ0x)cos(ϕ)−A2sin(2πξ0x)sin(ϕ)=−A2sin(ϕ)sin(2πξ0x)+[A1+A2cos(ϕ)]cos(2πξ0x)=[A2sin(ϕ)]2+[A1+A2cos(ϕ)]2cos(2πξ0x−arctanA1+A2cos(ϕ)−A2sin(ϕ))

如果用复数形式计算那就是
v1(x)+v2(x)=Re[u~1∗ej2πξ0x+u~2∗ej2πξ0x]v_1(x)+v_2(x)=Re[\tilde u_1^*e^{j2\pi \xi_0x}+\tilde u_2^*e^{j2\pi \xi_0x}]v1(x)+v2(x)=Re[u~1∗ej2πξ0x+u~2∗ej2πξ0x]

实际上要计算的是
u~1∗+u~2∗=A1+A2ejϕ=A1+A2cos⁡(ϕ)+jA2sin⁡(ϕ)=[A2sin⁡(ϕ)]2+[A1+A2cos⁡(ϕ)]2ejarctan⁡−A2sin⁡(ϕ)A1+A2cos⁡(ϕ)=u~∗\tilde u_1^*+\tilde u_2^*=A_1+A_2e^{j\phi}=A_1+A_2\cos(\phi)+jA_2\sin(\phi) \\ = \sqrt{[A_2\sin(\phi)]^2+[A_1+A_2\cos(\phi)]^2}e^{j\arctan \frac{-A_2\sin(\phi)}{A_1+A_2 \cos(\phi)}} = \tilde u^*u~1∗+u~2∗=A1+A2ejϕ=A1+A2cos(ϕ)+jA2sin(ϕ)=[A2sin(ϕ)]2+[A1+A2cos(ϕ)]2ejarctanA1+A2cos(ϕ)−A2sin(ϕ)=u~∗

可以发现同频的两个物理量相加用代数形式或者用指数形式关键参数（初始相位和幅度）计算是完全一致的，不存在用哪种形式简单或者复杂的说法。

回到一开始的问题，为什么要用复数/复变函数表示物理量呢？我问了我学校好几个教授，他们都说就是为了计算方便让我不要多想，甚至Fulvio Melia还说“虽然大部分文献用实部表示但如果愿意的话你做笔记写论文也可以用虚部来表示”。。。总之就很无语，还以为会有什么一百年前物理学家引入复数表示之后从此公式推导变得异常简洁之类的惊天地泣鬼神的故事。

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