zoj 3707 Calculate Prime S

fibonacci数列的性质：

1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))

证明：可以通过反证法先证fibonacci数列的任意相邻两项一定互素，然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m))，递归可

求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l))，最后k=l，不然继续递归。K是通过展转相减法求出，易证k=gcd(n,m)，所以gcd(fib(n),fib(m))

=fib(gcd(n,m))。

2.如果fib(k)能被x整除，则fib(k*i)都可以被x整除。

3.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

4.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

5.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

6.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

7.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

8.f(n+m)=f(n+1)·f(m)+f(n)*f(m-1)

9.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

10.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

11.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

12.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

还有一个结论：

计算(a/b)%c 其中b能整除a

如果b与c互素，则(a/b)%c=a*b^(phi(c)-1)%c

如果b与c不互素，则(a/b)%c=(a%bc)/b

对于b与c互素和不互素都有(a/b)%c=(a%bc)/b成立

附上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;#define  LL long long struct matrix{LL f[2][2];
};const int N=16000000;
int prime[16000000];
LL p[13000011];void init(){int i,j;int k=1;memset(prime,0,sizeof(prime));p[0]=1;k=1;for(i=2;i<=N;i++){if(prime[i]==0){p[k++]=i;for(j=2*i;j<=N;j+=i){prime[j]=1;}}}p[1]=3;p[2]=4;
}matrix multi(matrix a,matrix b,int MOD)
{struct matrix c;int i,j,k;for(i=0;i<2;i++){for(j=0;j<2;j++){c.f[i][j]=0;for(k=0;k<2;k++){c.f[i][j]=(c.f[i][j]+(a.f[i][k]*b.f[k][j])%MOD)%MOD;}}}return c;
}matrix quick_pow(int k,int MOD)
{int i;struct matrix s;memset(s.f,0,sizeof(s.f));for(i=0;i<2;i++) s.f[i][i]=1;struct matrix a;a.f[0][0]=1;a.f[0][1]=1;a.f[1][0]=1;a.f[1][1]=0;while(k){if(k&1){s=multi(s,a,MOD);}a=multi(a,a,MOD);k=k>>1;}return s;
}int main(){int i,k,x,m;int t;init();scanf("%d",&t);struct matrix ans;while(t--){scanf("%d%d%d",&k,&x,&m);for(i=p[k];;i++){ans = quick_pow(i-1,x);if(ans.f[0][0]%x==0) break;}ans = quick_pow(i-1,x*m);printf("%lld\n",ans.f[0][0]/x);}return 0;
}

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