Fast Walsh-Hadamard Transform (快速沃尔什变换)

做了一下（bestcoder#88）HDU 5909 ,发现是个树形dp。不小心写歪了就吃一个TLE。这个树形dp的复杂度是O（n*m^2），其实这个复杂度也能卡过吧。听说这里可以将O（m^2）优化成O（m*logm）,这里就用到了FWT，快速沃尔什变换，然而我并不懂。所以这几天看了下 Fast Walsh-Hadamard Transform ，感觉挺有趣的（骗你的），根据一位远古神犇的博客写了一些。

具体为什么是对的我还没有完全理清，大概就是个奇葩的构造吧……

Fast Walsh-Hadamard Transform 就是用于解决一类卷积问题的方法。大概如下：
$C_i=\sum_{j \oplus k=i}A_j*B_k$
其中 $\oplus$ 指任一二元逻辑位运算。

一些基础的想法：
为了加速这个运算，我们还是需要用一些类似FFT的东西。
注意到位运算都是有位独立性的，那么每次我们只考虑某一位？
不妨假设：

$\\A=(A_0,A_1) \\ B=(B_0,B_1)$

那么，我们的目标就是求出：

$C=A \otimes B=(\sum_{j \oplus k=0}A_j*B_k,\sum_{j \oplus k=1}A_j*B_k)$

假如构造了一个变换 $tf$ ，满足：

$tf(A) \times tf(B) = tf(C) \\$

且可以在较短时间内进行变换 $tf$ 及其逆变换 $utf$ ，那么我们的目标就可以实现了。
似乎便不能继续往下走了，那我们具体情况具体分析。

XOR

当 $\oplus$ 指异或运算的时候，即 SRM518 Nim 那题中所需要的方法。
此时：
$C=(A_0*B_0+A_1*B_1,A_0*B_1+A_1*B_0)$
接下来怎么来找变换？其实我并不知道这个变换是怎么找到的（可能哪个无聊的正好构造出来了？或者从很小的情况中顺藤摸瓜出来了？）。
但是这个变换确实存在，且形式比较漂亮。

$\\tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1)),tf(A_0)-tf(A_1)) \\ utf(A)=(utf(\frac{A_0+A_1}{2}),utf(\frac{A_0-A_1}{2}))$

虽然不知道这个是怎么构造出来的，不过我们还是可以很轻易地验证的。

AND

当 $\oplus$ 指与运算的时候，也是可以做的。
变换为：

$\\tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1),tf(A_1)) \\ utf(A)=(utf(A_0)-utf(A_1),utf(A_1))$

同样轻易可验证。

当 $\oplus$ 指或运算的时候，可以类比于与运算的变换：

$\\tf(A)=(tf(A_0),tf(A_1)+tf(A_0)) \\ utf(A)=(utf(A_0),utf(A_1)-utf(A_0))$

XNOR,NAND,NOR

当 $\oplus$ 指异或非运算、与非运算、或非运算时。
我们可以将直接用异或运算、与运算、或运算的方法求出来，然后将互反的两位交换即可。

代码：
这里只贴一个与运算的代码，别的运算都可以类似实现。

void FWT( ll X[], int l, int r, int v ) {if ( l == r ) return;int m = ( l + r ) >> 1;FWT( X, l, m, v ); FWT( X, m + 1, r, v );FOR ( i, 0, m - l ) {X[ l + i ] += X[ m + 1 + i ] * v;}
}

模板：

void FWT(int a[],int n)
{  for(int d=1;d<n;d<<=1)  for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)  for(int j=0;j<d;j++)  {  int x=a[i+j],y=a[i+j+d];  a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;  //xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;  //and:a[i+j]=x+y;  //or:a[i+j+d]=x+y;  }
}  void UFWT(int a[],int n)
{  for(int d=1;d<n;d<<=1)  for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)  for(int j=0;j<d;j++)  {  int x=a[i+j],y=a[i+j+d];  a[i+j]=1LL*(x+y)*rev%mod,a[i+j+d]=(1LL*(x-y)*rev%mod+mod)%mod;  //xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;  //and:a[i+j]=x-y;  //or:a[i+j+d]=y-x;  }
}
void solve(int a[],int b[],int n)
{  FWT(a,n);  FWT(b,n);  for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;  UFWT(a,n);
}

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