8.7 Kuratowski定理

这个定理的发现者是波兰数学家库拉托夫斯基，他的资料我就不多介绍了。简单贴张照片吧，头发还是蛮多的。

要了解Kuratowski定理，首先先要了解Kuratowski第一图。这个图就是5个节点组成的完全图，符号为K5K_5K5：

有了第一图，那肯定就第二图，要不然叫第一没什么意思。Kuratowski第二图就是完全二分图K3,3K_{3,3}K3,3。下图右边是K3,3K_{3,3}K3,3的同构isomorphic形式：

好了，了解这个概念后，再讲下图的细分Subdivision。图的细分就是边上再加一个点，把一条边分为两条边，叫做细分。我举个例子:

然后在底部加上一点，将边分为了两条边：

这样就完成了图的细分。
讲了这么多，Kuratowski定理的内容是：一个图可平面化，当且仅当其不含有任何k5k_5k5或k3,3k_{3,3}k3,3的细分。
Kuratowski定理的证明有几个版本，1930年，Kuratowski本人发明这个定理，给出了一个证明。1954年Schuster和Dirac又给出了一个更简短的证明。1981年，Thomassen给出了更好的证明，下面我就翻译翻译Thomassen的证明。
先证明必要性，设G是可平面化的，那么它的子图要么既不是K5K_5K5,也不是k3,3k_{3,3}k3,3，也不包含K5K_5K5或k3,3k_{3,3}k3,3的细分。这个没必要证明，因为K5K_5K5和k3,3k_{3,3}k3,3都不可平面化，所以子图肯定不包含。
难点在于充分性的证明。在证明之前，我先说下k通图k-connected graph的概念。之前我写的证明惠特尼不等式的博文中讲过了点连通性的概念。k连通图就是点连通性κ(G)\kappa(G)κ(G)为k的图。
只需要证明3连通图，要么包含K5K_5K5或k3,3k_{3,3}k3,3的细分，要么可平面化。然后就可以以此类推到n连通图。那就开始从3连通图开始证明吧。
因为G是3连通图，所以G一定有4个以上的点。从点数n=4开始，四个点的三连通图，只有完全图K4K_4K4，这个或许难以理解，我解释一下。4个点的图，删除三个点不就只剩下一个点了嘛，那也没增加组件的数量啊。因为完全图无论怎么删除点都不会增加新的组件，所以规定完全图的点连通度为n−1n-1n−1。K4K_4K4是可平面化的，如下图：

再看看n>4n\gt4n>4的情况，因为图G是三通的，所以G缩边Contraction之后还是三通的。缩边的符号是G∣eG\vert eG∣e。G是图，e是边，再定义H=G∣eH=G\vert eH=G∣e，e的两端记为x和y，把e缩边后得到的点为z。因为缩一个边就少一个点导致不能无限缩边，所以我们在n>4n>4n>4时才使用缩边操作。以下是缩边示意图（图片来自印度科学院Graph Theory with Algorithms and its Applications）：

然后再删除z的邻居，直到删到图为可平面化为止，这时候得到一个包含z的区域，C记为这个区域的边界环。下图就是C（图片来自印度科学院Graph Theory with Algorithms and its Applications）：

我们再重新调整x和y的位置。x放在z的位置上，y放在这个环内的任意位置。注意，我们只是调整了x和y的位置，没有缩边！
第一种场景，y的所有邻居都在C的一个段segment上，直白地讲，y的所有邻居在同一个半环。这个时候，y可以和x没有共同邻居，也可以共享一个邻居，也可以共享两个邻居。如下图，图是可平面化图（图片来自印度科学院Graph Theory with Algorithms and its Applications）：

第二种场景，不能平面化，x和y共享了三个邻居，也就是两个邻居在环C的这半部分，另一个邻居在环的那半部分且与x共享。这个时候组成了K5K_5K5的细分，如下图（图片来自印度科学院Graph Theory with Algorithms and its Applications）：

第三种场景，没有共享邻居的，不能平面化，y的两个邻居，一个在环的这边，一个在环的那边，这个时候组成了K3,3K_{3,3}K3,3的细分，如下图中u在这个半圆，v在另一个半圆（图片来自印度科学院Graph Theory with Algorithms and its Applications）：

这三种场景互斥并且包含了所有情况。第一种情况是y的所有邻居在同一侧，第二种和第三种都是邻居不在同一侧（专业术语叫同一段）。第二种场景是不在同一侧的y的邻居中有x的邻居，而第三种情况是另一侧没有和x共享邻居。这三种场景和三通其实没啥关系，所以对于n通图都是可以通用的。Q.E.D.（证明完毕）

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