2021.03.30【2021省赛】模拟比赛总结

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T1：神奇纸牌(uno)

T2：凌乱平衡树 (treap)

T3：打扫笛卡尔 (cartesian)

总结

这次比赛打挂了，只有 151515 分。

读完题后，发现好像只能做 T1T1T1 ：因为太久没有打过 SplaySplaySplay 了， T2T2T2 的 RotateRotateRotate 可能要回忆好一会儿；而 T3T3T3 的 笛卡尔树 我没打过。

转化一下 T1T1T1 ：有一个由 444 条横线， nnn 条竖线构成的网格图。你可以在 4n4n4n 个交点中任意选，对于选出的任意两个点，如果它们在同一条横线或同一条竖线上，那么它们之间连一条边。求让选出来的点形成一个连通图的方案。

因为颜色数很少，可以考虑状压。

设 fi,Sf_{i,S}fi,S 表示已经完成了前 iii 条竖线的选点，所选点所在的横线并集为 SSS ，且满足这些点形成一个连通图的方案。

当时我写的状态转移方程是
fi,S=2fi−1,S+∑j∈Sfi,S−{j}+∑T⫋S,T≠∅fi−1,T⋅fi−1,S−T⋅(2∣T∣−1)(2∣S−T∣−1)f_{i,S}=2f_{i-1,S}+\sum_{j\in S}f_{i,S-\{j\}} + \sum_{T\subsetneqq S,T\neq \emptyset} f_{i-1,T}\cdot f_{i-1,S-T}\cdot (2^{|T|}-1)(2^{|S-T|}-1) fi,S=2fi−1,S+j∈S∑fi,S−{j}+T⫋S,T=∅∑fi−1,T⋅fi−1,S−T⋅(2∣T∣−1)(2∣S−T∣−1)
显然严重算重了。但是当我意识到这一点后已经十点多了，加上不知道怎么改进，就胡乱写了个暴力水他个 151515 分。

接着就去打 T2T2T2 了，发现暴力模拟即可 202020 分，接着只维护左边那棵 TreapTreapTreap 的右链即可再拿 202020 分。

但是打起来才发现暴力模拟的 202020 分好难拿啊！！！根本没有时间拿另外 202020 分。

最后调了几下没调出来，交上去 000 分了。赛后发现原来是两个愚蠢至极的错误：

没有预处理 sizsizsiz 就开始处理询问了，这样合并的时候自然就会错掉；
rotaterotaterotate 后更新节点 sizsizsiz 时，先更新了新父亲，再更新原父亲。

T3T3T3 没有时间打。

这次失误主要是我组合数学、DP的基础比较薄弱，某些算法太久没用以至于遗忘导致的。

题解

T1 uno

状压DP

设 fi,Sf_{i,S}fi,S 表示已经完成了前 iii 条竖线中的选点，横线选择状态的并集及其连通状态为 SSS 的方案。

通过搜索可以发现 SSS 大小是 525252 。

接着 矩阵乘法 就可以了。

容斥

考虑枚举每一种数字选择的颜色状态（如选择第 1,31,31,3 种颜色就是一种状态，共有 242^424 种颜色状态）。发现对于一种颜色状态，我们只关心它是否出现过，而不用关心它究竟是被哪一种数字选择的、出现过几次。

因此可以枚举这些颜色状态的出现状态（如选择“选择第 1,31,31,3 种颜色”、“选择第 1,21,21,2 种颜色”和“选择第 2,42,42,4 种颜色”三种颜色状态就形成了一种出现状态，其实就是看某个状态是否出现过，共有 2242^{2^4}224 种出现状态），然后判断它们是否合法，如果合法，计算方案即可。

判断一种出现状态是否合法用 并查集 就可以了。具体来说，如果“选择第 1,31,31,3 种颜色”这种颜色状态出现了，就把 111 和 333 这两种颜色并起来（看一下上面的转化题意就很容易理解）。

形成一种包含 mmm 种颜色状态的出现状态等价于：把 nnn 个互不相同的小球放进 mmm 个互不相同的盒子里，要求满足每个盒子都不为空，求放置小球的方案数。直接容斥就好了，方案数为
∑i=0m(−1)m−i(mi)in\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i}\binom{m}{i} i^n i=0∑m(−1)m−i(im)in
时间复杂度 O(224+162log⁡2n)O\left(2^{2^4}+16^2 \log_2 n\right)O(224+162log2n) 。

T2 treap

https://blog.csdn.net/huangzihaoal/article/details/115346907

T3 cartesian

题解说这题的定位是 较难的计数题 。

但是这题还可以 OEISOEISOEIS 出来（话说我们比赛是不能上 OEISOEISOEIS 的对吧

先暴力跑出 n∈[1,7]∩Zn\in [1,7]\cap Zn∈[1,7]∩Z 的答案： 1,4,17,85,499,3388,262001,4,17,85,499,3388,262001,4,17,85,499,3388,26200 。然后 OEISOEISOEIS 一波：

如果写成 无符号第一类斯特林数 的形式，那就是
ansn=[n+12]+[n+13]ans_n= {n+1\brack 2}+{n+1\brack 3} ansn=[2n+1]+[3n+1]
时间复杂度 O(n)O(n)O(n) 。

代码

T1

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
#define fo(i,l,r) for(i=l;i<=r;++i)
uint P,c[25][25],ans[17];
int f[5];bool b[5];
inline uint add(uint x,uint y){x+=y;return x>=P?x-P:x;}
inline uint pow(uint x,ll y)
{uint s=1;while(y){if(y&1) s=1LL*s*x%P;x=1LL*x*x%P,y>>=1;}return s;
}
int getf(int k){return f[k]!=k?f[k]=getf(f[k]):k;}
int main()
{freopen("uno.in","r",stdin);freopen("uno.out","w",stdout);int i,j,s,t,m,las;ll n;uint sum;fo(i,0,16){c[i][i]=c[i][0]=1;for(j=1;j<i;++j) c[i][j]=add(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);}scanf("%lld%u",&n,&P);fo(i,1,16) fo(j,0,i)ans[i]=add(ans[i],i-j&1?P-1LL*pow(j,n)*c[i][j]%P:1LL*pow(j,n)*c[i][j]%P);
//  fo(i,1,16) printf("%d\t%d\n",i,ans[i]);fo(s,1,65535){m=0;fo(i,1,4) f[i]=i,b[i]=0;fo(t,0,15) if(s&1<<t){++m,las=0;fo(i,1,4) if(t&1<<i-1){if(las&&getf(las)!=getf(i)) f[f[las]]=f[i];las=i,b[i]=1;}}if(m>n) continue;las=0;fo(i,1,4) if(b[i]){if(las&&getf(las)!=getf(i)) break;las=i;}if(i>4) sum=add(sum,ans[m]);}printf("%u\n",sum);return 0;
}

T2

https://blog.csdn.net/huangzihaoal/article/details/115346907#t2

T3

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef unsigned int uint;
#define fo(i,l,r) for(i=l;i<=r;++i)
uint s[4],P;
inline uint add(uint x,uint y){x+=y;return x>=P?x-P:x;}
int main()
{freopen("cartesian.in","r",stdin);freopen("cartesian.out","w",stdout);register int i;int n;scanf("%d%u",&n,&P);s[0]=1;fo(i,1,n+1){s[3]=(s[2]+1LL*(i-1)*s[3])%P,s[2]=(s[1]+1LL*(i-1)*s[2])%P,s[1]=(s[0]+1LL*(i-1)*s[1])%P,s[0]=0;}printf("%u\n",add(s[2],s[3]));return 0;
}