问题

存在两个相互独立的序列 X=X1,X2,⋯,XnX={X_1,X_2,⋯,X_n } 和 Y=Y1,Y2,⋯,YnY={Y_1,Y_2,⋯,Y_n }，若每个序列的各个元素之间相互独立且服从相同分布，序列 Z=X+Y=Z1,Z2,⋯,Zn=X1+Y1,X2+Y2,⋯,Xn+ZnZ=X+Y={Z_1,Z_2,⋯,Z_n }={X_1+Y_1,X_2+Y_2,⋯,X_n+Z_n } 内各个元素是否相互独立且服从相同分布？

解答

根据 [1] 的定理 2.3.2（P136）可知，Zi=Xi+Yi,i=1,⋯,nZ_i=X_i+Y_i,i=1,⋯,n 是相互独立的。因为序列 X=X1,X2,⋯,XnX={X_1,X_2,⋯,X_n } 和 Y=Y1,Y2,⋯,YnY={Y_1,Y_2,⋯,Y_n } 相互独立，序列内元素也相互独立，即 Xi,i=1,⋯,nX_i,i=1,⋯,n 与 Yi,i=1,⋯,nY_i,i=1,⋯,n 相互独立；而且我们所接触的分布函数是实值连续函数。
定理 2.3.2 设有 n1+n2+...+nkn_1 + n_2 + ... + n_k 个随机变数 ξ11,...,ξ1n1,ξ21,...,ξ2n2,ξk1,...,ξkn1\xi_{11}, ..., \xi_{1n_{1}}, \xi_{21}, ..., \xi_{2n_{2}}, \xi_{k1}, ..., \xi_{kn_{1}}。若 ϕi\phi_{i} 是 nin_{i} 个实变数的实值连续函数，令

>ηi=ϕi(ξi1,...,ξ1ni)(i=1,2,...,k)>

> \eta_{i} = \phi_{i} \left( \xi_{i1}, ..., \xi_{1n_{i}} \right) \left( i = 1, 2, ..., k \right) >
则：
1. η1,...,ηk\eta_{1}, ..., \eta_{k} 必是随机变数；
2. 若假设所有 ηij\eta_{ij} 相互独立，则 η1,...,ηk\eta_{1}, ..., \eta_{k} 也相互独立。
Zi,i=1,⋯,nZ_i,i=1,⋯,n 是服从相同的分布的。因为 XX 中的元素 Xi,i=1,⋯,nX_i,i=1,⋯,n 服从相同的分布，YY 中的元素 Yi,i=1,⋯,nY_i,i=1,⋯,n 也服从相同的分布（不一定与 XX 中的元素所服从的分布相同），ZZ 中的每个元素是 XX 和 YY 中对应元素之和，所以 Zi=Xi+Yi,i=1,⋯,nZ_i=X_i+Y_i,i=1,⋯,n 也服从相同分布。

所以序列 Z=X+Y=Z1,Z2,⋯,Zn=X1+Y1,X2+Y2,⋯,Xn+ZnZ=X+Y={Z_1,Z_2,⋯,Z_n }={X_1+Y_1,X_2+Y_2,⋯,X_n+Z_n} 内各个元素相互独立且服从相同分布。

参考文献

[1] 梁之舜, 邓集贤, 杨维权, 司徒登, and 邓永录, “概率论及数理统计.” 北京: 高等教育出版社, 1980.

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