【算法趣题】硬币组合

题目描述：

当下，坐公交或者地铁时大部分人都是刷卡的。不过，时至今日还在用现金支付的人还是比想象的多。本题我们以安置在公交上的零钱兑换机为背景。这个机器可以用纸币兑换到 10 日元、50 日元、100 日元和 500 日元硬币的组合，且每种硬币的数量都足够多（因为公交接受的最小额度为 10 日元，所以不提供 1 日元和 5 日元的硬币）。兑换时，允许机器兑换出本次支付时用不到的硬币。此外，因为在乘坐公交时，如果兑换出了大量的零钱会比较不便，所以只允许机器最多兑换出 15 枚硬币。譬如用 1000 日元纸币兑换时，就不能兑换出 “100 枚 10 日元硬币”的组合。

问题：

求兑换 1000 日元纸币时会出现多少种组合？注意，不计硬币兑出的先后顺序。

问题分析：

第一眼看完题感觉用递归运算解析比较容易，但后面题目约束（不计硬币兑出的先后顺序）使得递归有缺陷。因为递归会将所有可能的结果包括顺序全部列出，后续去重特别麻烦。

问题解决：

首先尝试用递归解决，代码如下：

#include <stdio.h>#define TOTALMONEYNUM    15int iCount = 0;void cutt(int money, int i500num, int i100num, int i50num, int i10num)
{if(i500num + i100num + i50num + i10num <= TOTALMONEYNUM){if(money < 0){return;}if(money == 0){iCount++;return;}if(money >= 500){cutt(money - 500, i500num + 1, i100num, i50num, i10num);}if(money >= 100){cutt(money - 100, i500num, i100num + 1, i50num, i10num);}if(money >= 50){cutt(money - 50, i500num, i100num, i50num + 1, i10num);}if(money >= 10){cutt(money - 10, i500num, i100num, i50num, i10num + 1);}}
}int main()
{cutt(1000, 0, 0, 0, 0);printf("iCount = %d\n", iCount);return 0;
}

运行结果为：iCount = 569193，很显然这里面有重复的组合，此解法有问题。

运用非递归解决思路代码如下：

#include <stdio.h>#define TOTALMONEYNUM    15int iCount = 0;int iNumMoney(int iMoney, int iCoin)
{if(iMoney/iCoin < TOTALMONEYNUM){return iMoney/iCoin;}else{return TOTALMONEYNUM;}
}int main()
{int i500MaxNum = iNumMoney(1000, 500);int i100MaxNum = iNumMoney(1000, 100);int i50MaxNum  = iNumMoney(1000, 50);int i10MaxNum  = iNumMoney(1000, 10);int i500 = 0, i100 = 0, i50 = 0, i10 = 0;for(i500 = 0; i500 <= i500MaxNum; i500++){for(i100 = 0; i100 <= i100MaxNum; i100++){for(i50 = 0; i50 <= i50MaxNum; i50++){for(i10 = 0; i10 <= i10MaxNum; i10++){if(i500 + i100 + i50 + i10 <= 15 && 500*i500 + 100*i100 + 50*i50 + 10*i10 == 1000){printf("500 : %d, 100: %d, 50 :%d, 10 : %d\n", i500, i100, i50, i10);iCount++;}}}}}printf("iCount : %d\n", iCount);return 0;
}

运行结果为：

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