[HAOI2018]苹果树(组合数学)

洛谷题目传送门

题目描述

小 C 在自己家的花园里种了一棵苹果树, 树上每个结点都有恰好两个分支. 经过细心的观察, 小 C 发现每一天这棵树都会生长出一个新的结点.

第一天的时候, 果树会长出一个根结点, 以后每一天, 果树会随机选择一个当前树中没有长出过结点的分支, 然后在这个分支上长出一个新结点, 新结点与分支所属的结点之间连接上一条边.

小 C 定义一棵果树的不便度为树上两两结点之间的距离之和, 两个结点之间的距离定义为从一个点走到另一个点的路径经过的边数.

现在他非常好奇, 如果 N 天之后小 G 来他家摘苹果, 这个不便度的期望 E 是多少. 但是小 C 讨厌分数, 所以他只想知道 E×N! 对 P 取模的结果, 可以证明这是一个整数.

题意简介

给定n，定义一个二叉树的权值为树上所有点对的最短距离和，求大小为n 的所有带标号二叉树的权值和。

解题思路

首先考虑n个点的无标号二叉树的构造方案数（左右儿子不同）
当n=1时，方案数为1

当n=2时，方案数为2（空心表示可选节点）

当n=3时，方案数为 2 × 3 = 6 2\times3=6 2×3=6

因此，一颗n各节点的树构造方案数是 n ! n! n!
然后开始计算答案，设当前第i个节点，该节点子树大小为j（包含i节点）
则i与i的父亲的连边对答案的贡献为 j × ( n − j ) j\times(n-j) j×(n−j)，也就是每一条经过这条边的路径都会产生贡献
构造之前i各节点的方案数为i!，构造子树的方案数为j！，但是因为有标号，所以子树的标号要从（n-i）里选 j-1 个（不算 i 节点），也就是 C n − i j − 1 C_{n-i}^{j-1} Cn−ij−1
最后一部分是生成i+j-1后面的节点，并且这些节点不能放在i的子树中，所以这些节点中的第一个的方案数为 i-1，第2个为 i ，最后一个是（n-j-1）,总体方案数是
也就是 ( n − j − 1 ) ! ( i − 2 ) ! \frac{(n-j-1)!}{(i-2)!} (i−2)!(n−j−1)!
把答案乘起来，也就是
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n − j + 1 j ( n − j ) j ! C n − i j − 1 i ! ( n − j − 1 ) ! ( i − 2 ) ! \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-j+1}j(n-j)j!C_{n-i}^{j-1}i!\frac{(n-j-1)!}{(i-2)!} i=1∑nj=1∑n−j+1j(n−j)j!Cn−ij−1i!(i−2)!(n−j−1)!
但是题目没保证模数p为质数，因此逆元可能没有，所以我们继续化简得
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n − j + 1 j ( n − j ) j ! C n − i j − 1 ( n − j − 1 ) ! i ( i − 1 ) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-j+1}j(n-j)j!C_{n-i}^{j-1}{(n-j-1)!}i(i-1) i=1∑nj=1∑n−j+1j(n−j)j!Cn−ij−1(n−j−1)!i(i−1)
算组合数也不能用逆元， n 2 n^2 n2递推计算就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;
LL n,p,ans;
LL C[N][N],fact[N];
void prework()
{fact[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=fact[i-1]*i%p;for(int i=0;i<=n;i++)C[i][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%p;}}
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&p);prework();for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n-i+1;j++){ans=(ans+j*(n-j)%p*fact[j]%p*C[n-i][j-1]%p*fact[n-j-1]%p*i%p*(i-1)%p)%p;}}cout<<ans;return 0;
}