线性代数学习笔记（二十）—

本篇笔记首先通过举例来说明向量在生活里都是对应着实实在在具体的东西，然后引出向量的定义以及相关概念，如向量、向量的分量、向量的维数、行向量、列向量、零向量、负向量、向量相等、向量加法、向量减法和向量数乘等，最后还总结了向量的运算规律。

1 向量（vector）举例

如平面中的一个坐标
↑∣∣↗(1,1)−−−−→↑\\|\\|↗(1,1)\\----→↑∣∣↗(1,1)−−−−→

或三维空间中的一个坐标
↑∣∣↗(1,1,1)−−−−→↙\quad↑\\\quad|\\\quad|↗(1,1,1)\\\quad----→\\↙↑∣∣↗(1,1,1)−−−−→↙

你女朋友的三围数据
(30,30,30)(30,30,30)(30,30,30)

学生的信息
(张三,男,185,95,90,93)(张三,男,185,95,90,93)(张三,男,185,95,90,93)
(韩帅,女,163,98,95,99)(韩帅,女,163,98,95,99)(韩帅,女,163,98,95,99)
(小三,女,159,40,30,25)(小三,女,159,40,30,25)(小三,女,159,40,30,25)

向量在生活里都是对应着实实在在具体的东西。

2 nnn维向量的定义

nnn维向量：由nnn个数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an组成的有序数组，α=(a1,a2,...,an)\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)α=(a1,a2,...,an)。
其中第iii个数aia_iai称为向量α\alphaα的第iii个分量（i=1,2,...,ni=1,2,...,ni=1,2,...,n）。

维数：即向量中分量的个数。

向量的符号一般用α,β,γ,...\alpha,\beta,\gamma,...α,β,γ,...表示。

行向量：(30,30,30)(30,30,30)(30,30,30)

列向量：(303030)\begin{pmatrix} 30\\ 30\\ 30 \end{pmatrix}⎝⎛303030⎠⎞

行向量和列向量形式上有区别，但本质上没有什么区别。

零向量：分量全为零的向量。记作：OOO。

负向量：所有分量都取相反数。

向量相等：两个向量相等，其各分量对应相等，记作：α=β\alpha=\betaα=β。

向量相等的前提条件是：同维向量。

回顾：
矩阵相等的前提条件是：同型矩阵。
矩阵秩的定义：非零子式的最高阶数。

向量加法：对应分量相加。前提也是同维向量。

向量减法：对应分量相减。前提还是同维向量，向量的减法可由向量的加法和负向量进行定义。

向量数乘：用数乘以向量的每个分量。

向量的加法（减法）和数乘运算称为向量的线性运算。

3 向量运算规律

① 交换律：α+β=β+α\alpha+\beta=\beta+\alphaα+β=β+α，
② 结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)(α+β)+γ=α+(β+γ)，
③ α+O=α\alpha+O=\alphaα+O=α，
④ α+(−α)=O\alpha+(-\alpha)=Oα+(−α)=O，
⑤ 1⋅α=α1·\alpha=\alpha1⋅α=α，
⑥ (kl)α=k(lα)(kl)\alpha=k(l\alpha)(kl)α=k(lα)，
⑦ k(α+β)=kα+kβk(\alpha+\beta)=k\alpha+k\betak(α+β)=kα+kβ，
⑧ (k+l)α=kα+lα(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha(k+l)α=kα+lα。

并且还可以推出：0⋅α=k⋅O=O0·\alpha=k·O=O0⋅α=k⋅O=O，(−1)α=−α(-1)\alpha=-\alpha(−1)α=−α,α+β=γ⇔α=γ−β\alpha+\beta=\gamma\Leftrightarrow\alpha=\gamma-\betaα+β=γ⇔α=γ−β。

★★ 例3.1.1

证明kα=O⇔k=0或α=Ok\alpha=O{\Leftrightarrow}k=0或\alpha=Okα=O⇔k=0或α=O。

证明：
充分性：若k=0k=0k=0，则结论成立；若k≠0k{\neq}0k=0，则(1k)kα=(1k)O(\frac{1}{k})k\alpha=(\frac{1}{k})O(k1)kα=(k1)O，1⋅α=O1·\alpha=O1⋅α=O，即α=O\alpha=Oα=O。
必要性：若k=0或α=Ok=0或\alpha=Ok=0或α=O，则显然有kα=Ok\alpha=Okα=O。

回顾：
对于矩阵而言，AB=O⇏A=O或B=OAB=O{\nRightarrow}A=O或B=OAB=O⇏A=O或B=O。

例3.1.2：略。

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ干杯~-bilibili_3.1 向量的定义