洛谷P3645 [APIO2015]雅加达的摩天楼

题目描述

印尼首都雅加达市有 N 座摩天楼，它们排列成一条直线，我们从左到右依次将它们编号为 0 到 N − 1。除了这 NN 座摩天楼外，雅加达市没有其他摩天楼。

有 M 只叫做 “doge” 的神秘生物在雅加达市居住，它们的编号依次是 0 到 M − 1。编号为 i 的 doge 最初居住于编号为 Bi 的摩天楼。每只 doge 都有一种神秘的力量，使它们能够在摩天楼之间跳跃，编号为 i 的 doge 的跳跃能力为 Pi （Pi>0）。

在一次跳跃中，位于摩天楼 b 而跳跃能力为 p 的 doge 可以跳跃到编号为 b − p （如果 b − p < N）或 b+p（如果0≤b+p<N）的摩天楼。

编号为 0 的 doge 是所有 doge 的首领，它有一条紧急的消息要尽快传送给编

号为 1 的 doge。任何一个收到消息的 doge 有以下两个选择:

跳跃到其他摩天楼上；

将消息传递给它当前所在的摩天楼上的其他 doge。

请帮助 doge 们计算将消息从 0 号 doge 传递到 1 号 doge 所需要的最少总跳跃步数，或者告诉它们消息永远不可能传递到 1 号 doge。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含两个整数 N 和 M。

接下来 M 行，每行包含两个整数 Bi 和 Pi。

输出格式：

输出一行，表示所需要的最少步数。如果消息永远无法传递到 1 号 doge，输出 −1。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

【样例解释】

下面是一种步数为 5 的解决方案：

0 号 doge 跳跃到 2 号摩天楼，再跳跃到 4 号摩天楼（2 步）。

0 号 doge 将消息传递给 2 号 doge。

2 号 doge 跳跃到 3 号摩天楼,接着跳跃到 2 号摩天楼，再跳跃到 1 号摩天楼（3 步）。

2 号 doge 将消息传递给 1 号 doge。

【数据范围】

所有数据都保证 0≤Bi<N。

子任务 1 （10 分）1≤N≤10

1≤Pi≤10

2≤M≤3

子任务 2 （12 分）1≤N≤100

1≤Pi≤100

2≤M≤2000

子任务 3 （14 分）1≤N≤2000

1≤P≤2000

2≤M≤2000

子任务 4 （21 分）1≤N≤2000

1≤Pi≤2000

2≤M≤30000

子任务 5 （43 分）1≤N≤30000

1≤Pi≤30000

2≤M≤30000

题解：

哇哇哇这道题A掉真不容易

这道题看到就想着建图，但是直接建肯定是不行的。

为啥不行呢？原来，对于某一个doge的p值，我们的建图方法是这样滴：

如果p值较大的话，那还好办，因为不会连出去多少边

但是，如果p值小的话，那么每一个点可能会往外连好多个边，而且可能有重复的！

复杂度可能接近 n² 哦

那么，如何改进建边方法？

老师教我们做分层图（似乎也叫分块？并不太清楚……）

对于p值较大的，比如大于sqrt(n)的，我们还直接建边

但是对于p值较小的，我们就对于不同的p值分别建图，然后每两个可一步到达的“相邻”点间都连正反两条边

就像这样：

p=1层的图:

p=2层的图：

（画图好累……）

好了大概层里建图就是这样

可是不能光在一个层里面跑啊，得在不同层间跑

那么不同层间的边怎么连？

不同层间的边其实就相当于一栋楼中有些可跳距离不同的doge，那对于每一个doge都把同一个点不同层的点指向该点（这样说好抽象啊……看代码应该好理解些）

这样建图复杂度是nlogn的

这样图建完后跑最短路就可以了

我一开始用dijkstra堆优化，但是始终T一个点。后来改成SPFA又修改了许多耗时的地方才A掉……95分了好长时间……

我做这道题时中间有一段时间一直65分，因为我在建图时有一块儿想错了

我把p值较大的暴力建图时是按照p值较小的建图方法建的（如上2图）

但是这样是有问题的

两者的区别不单是前者边少后者边多，更是前者只能从一个点出发去其他点，而后者可从每一个点出发去其他点！

虽然感觉上求两点之间距离这两种方法是一样的，但当有其他点、边或其他操作插进来后就很不一样了

比如前一个图，第三个点与第四个点是无法互相到达的，而在后面图中就可以

下次写题是一定要注意这一点！要想清楚了！

代码：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<iostream>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<math.h>
  5 #include<queue>
  6 #define INF 1000000007
  7 using namespace std;
  8
  9 const int MAXN = 30005;
 10 struct node{
 11     int v,len,lev;
 12     node *next;
 13 }pool[500*MAXN],*h[400][MAXN];
 14 int cnt;
 15
 16 int read(){
 17     int x=0,f=1;
 18     char ch=getchar();
 19     while(ch>'9' || ch<'0') ch=getchar();
 20     while('0'<=ch && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
 21     return x;
 22 }
 23
 24 void addedge(int u,int lu,int v,int lv,int len){
 25     node *p=&pool[++cnt];
 26     p->v=v;p->len=len;p->lev=lv;
 27     p->next=h[lu][u];h[lu][u]=p;
 28 }
 29
 30 int n,m,sn;
 31 int b[MAXN],p[MAXN],vis[405];
 32
 33 int d[400][MAXN],use[400][MAXN];
 34 struct qqq{
 35     int num,lev;
 36 };
 37 queue<qqq> que1;
 38 void spfa(int S,int lS,int T){
 39     int u,v,l;
 40     qqq newq,now;
 41     for(int i=0;i<sn;i++)
 42         for(int j=0;j<n;j++) d[i][j]=INF;
 43     while(!que1.empty()) que1.pop();
 44     d[lS][S]=0;
 45     newq.num=S;newq.lev=lS;
 46     que1.push(newq);
 47     while(!que1.empty()){
 48         now=que1.front();que1.pop();
 49         u=now.num;l=now.lev;
 50         for(node *p=h[l][u];p;p=p->next)
 51         {
 52             v=p->v;
 53             if(d[p->lev][v]>d[l][u]+p->len){
 54                 d[p->lev][v]=d[l][u]+p->len;
 55                 if(use[p->lev][v]) continue;
 56                 newq.num=v;newq.lev=p->lev;
 57                 que1.push(newq);
 58                 use[p->lev][v]=1;
 59             }
 60         }
 61         use[l][u]=0;
 62     }
 63 }
 64
 65 int main()
 66 {
 67     int i,j,l2,S,T,lS;
 68     n=read();m=read();
 69     for(i=0;i<m;i++) b[i]=read(),p[i]=read();
 70     sn=min((int)sqrt(n),100);
 71     S=b[0];T=b[1];
 72     if(p[0]<sn) lS=p[0];else lS=0;
 73
 74     //addedge
 75     for(i=0;i<m;i++){
 76         if(p[i]>=sn){
 77             vis[0]=1;
 78             for(j=b[i]%p[i];j<n;j+=p[i]){
 79                 if(j==b[i]) continue;
 80                 addedge(b[i],0,j,0,abs(j-b[i])/p[i]);
 81             }
 82         }
 83         else vis[p[i]]=1;
 84     }
 85     for(i=1;i<sn;i++)
 86         if(vis[i]){
 87             for(j=0;j+i<n;j++){
 88                 addedge(j,i,j+i,i,1);
 89                 addedge(j+i,i,j,i,1);
 90             }
 91         }
 92     //level
 93     for(i=0;i<m;i++){
 94         if(p[i]<sn) l2=p[i];
 95         else l2=0;
 96         for(j=0;j<sn;j++)
 97             if(j!=l2 && vis[j]){
 98                 addedge(b[i],j,b[i],l2,0);
 99             }
100     }
101
102     //spfa
103     spfa(S,lS,T);
104     int ans=INF;
105     for(i=0;i<sn;i++) ans=min(ans,d[i][T]);
106     if(ans==INF) printf("-1\n");
107     else printf("%d\n",ans);
108
109     return 0;
110 }

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