01背包问题详解

01背包是一种动态规划问题。动态规划的核心就是状态转移方程，本文主要解释01背包状态转移方程的原理。

问题描述

01背包问题可描述为如下问题：
有一个容量为V的背包，还有n个物体。现在忽略物体实际几何形状，我们认为只要背包的剩余容量大于等于物体体积，那就可以装进背包里。每个物体都有两个属性，即体积w和价值v。
问：如何向背包装物体才能使背包中物体的总价值最大？

为什么不用贪心？

我在第一次做这个题目时考虑的是贪心算法。所谓贪心问题，就是每一步决策都采取最优解，按照此方案最后结果也是最优解。
为什么这个问题不能用贪心呢？
举个例子
我的背包容量为10，而且有4个物体，它们的体积和价值分别为
w1 = 8, v1 = 9
w2 = 3, v2 = 3
w3 = 4, v3 = 4
w4 = 3, v4 = 3
贪心是每一步采取最优拿法，即每一次都优先拿价值与体积比值最大的物体
c1 = v1/w1 = 1.125（最大）
c2 = v2/w2 = 1
c3 = v3/w3 = 1
c4 = v4/w4 = 1
所以优先拿第一个物体，随后背包再也装不下其他物体了，则最大价值为9。
但是这个问题的最优解是取物体2，3，4装进背包，最大价值为3+4+3=10！！！
所以这个问题不可以用贪心法来处理。

原始的 01背包

01背包的状态转移方程为
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[j])

i代表对i件物体做决策，有两种方式—放入背包和不放入背包。
j表示当前背包剩余的容量。

转移方程的解释：
创建一个状态矩阵f，横坐标 i 是物体编号，纵坐标 j 为背包容量。
首先将 f 第0行和第0列初始化为0 （代码里面将整个f初始化为0了，其实只初始化第0行和第0列就够了）。这个表示不放物体时最大价值为0 。（物体编号从1开始）
接下来依次遍历f的每一行。如下所示。

for (int i = 1; i <= n; i++)
{for (int j = V; j >= 0; j--){if (j >= w[i])//如果背包装得下当前的物体{f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);}else//如果背包装不下当前物体{f[i][j] = f[i - 1][j];}}
}

如果背包装得下当前的物体，在遍历过程中分别计算第i件物体放入和不放入背包的价值，取其中大的做为当前的最大价值。
如果背包装不下当前物体那么第i个物体只有不放入背包一种选择。

不放入背包时:第i次决策后的最大价值和第i-1次决策时候的价值是一样的（还是原来的那些物体，没多没少）。
放入背包时:第i次决策后的价值为 第i-1次决策时候的价值 加上 当前物体的价值v[j]。物体放入背包后会使背包容量变为 j ，即没放物体之前背包的容量为j - w[i]。


#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define max(N1,N2) N1>N2?N1:N2
int main()
{/*第一行输入背包容量V和物体的个数n接下来有n行，每行包含两个数字，分别为该物体的花费和价值*/vector<int> w, v;//w为花费，v为价值vector<vector<int>> f;//f状态矩阵int V, n;//V背包容量，n物体数while (cin >> V >> n){w.clear();v.clear();f.clear();w.push_back(0);v.push_back(0);//输入原始数据for (int i = 1; i <= n; i++){int cur_w, cur_v;cin >> cur_w >> cur_v;w.push_back(cur_w);v.push_back(cur_v);}//初始化状态矩阵for (int i = 0; i <= n; i++){vector<int> buff(V + 1, 0);f.push_back(buff);}//动态规划过程for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = V; j >= 0; j--){if (j >= w[i]){f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);}else{f[i][j] = f[i - 1][j];}}}//输出答案int ans = f[n][V];cout << ans << endl;}return 0;
}

优化空间复杂度的 01背包

未优化时候状态转移方程为
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[j])
遍历过程为

for (int i = 1; i <= n; i++)
{for (int j = V; j >= 0; j--){if (j >= w[i]){f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);}else{f[i][j] = f[i - 1][j];}}
}

可以发现如下问题：
（1）状态表f的遍历顺序为从第1行开始一行一行遍历，且在遍历第i行时候不会用到第i-2行数据，也就是i-2行及以前的数据没有用了，可以清除。同时，第i-1行的数据每个只会用到一次。
（2）遍历每一行时候只用到当前容量j和j-w[i]的数据，也就是第 i 次遍历只需要第 i-1 次遍历中容量小于等于 j 的数据。

所以我们可以按照如下方法优化f的空间复杂度：

f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[j])
for (int i = 1; i <= n; i++)
{for (int j = V; j >= 0; j--){if (j >= w[i]){f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);}else{f[j] = f[j];}}
}

从本质上说，这种优化方法针对了上述的两个问题：
（1）把遍历第i个物体和遍历第i-1个物体时的最大价值存在一个单元里。更新前f[j]存i-1的价值，更新后f[j]存i的价值。因为用不到i-2及以前的数据所以不需要存。因为以后不会再用到i-1的价值所以被覆盖了没问题
（2）j从背包容量V开始遍历，即从大到小遍历，保证了当前f[j]和f[j - w[i]]里面存的是i-1的数据，即等价于f([i])[j] = max(f([i - 1])[j], f([i - 1])[j - w[i]] + v[i])，从而和优化空间复杂度前状态转移方程的原理一致。
但仍存在一些问题，比如

else
{f[j] = f[j];
}

自己给自己赋值，是无用操作，所以j < w[i]时候什么都不做即可。换句话说，只需要遍历到j >= w[i]，从而得到

for (int i = 1; i <= n; i++)
{for (int j = V; j >= w[i]; j--){f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);}
}

最终代码如下

/*#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define max(N1,N2) N1>N2?N1:N2
int main()
{/*第一行输入背包容量V和物体的个数n接下来有n行，每行包含两个数字，分别为该物体的花费和价值*/vector<int> w, v;//w为花费，v为价值vector<int> f;//f状态矩阵int V, n;//V背包容量，n物体数while (cin >> V >> n){w.clear();v.clear();f.clear();w.push_back(0);v.push_back(0);//输入原始数据for (int i = 1; i <= n; i++){int cur_w, cur_v;cin >> cur_w >> cur_v;w.push_back(cur_w);v.push_back(cur_v);}//初始化状态矩阵f = vector<int>(V + 1, 0);//动态规划过程for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = V; j >= w[i]; j--){f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);}}//输出答案int ans = f[V];cout << ans << endl;}return 0;
}