自动驾驶算法详解(3): LQR算法进行轨迹跟踪，lqr_speed_steering

前言：

LQR算法在自动驾驶应用中，一般用在NOP、TJA、LCC这些算法的横向控制中，一般与曲率的前馈控制一起使用，来实现轨迹跟踪的目标，通过控制方向盘转角来实现横向控制。

本文将使用python来实现 lqr_speed_steering_control( ) 轨迹跟踪算法的demo，通过同时控制转角与加速度来实现轨迹跟踪。

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正文如下：

一、LQR问题模型建立：

理论部分比较成熟，这里只介绍demo所使用的建模方程：

使用离散代数黎卡提方程求解

LQR控制的步骤：

选择参数矩阵Q,R
求解Riccati方程得到矩阵P
根据P计算 K = R − 1 B T P K=R^{-1}B^{T}P K=R−1BTP
计算控制量 u = − K x u=-Kx u=−Kx

系统状态矩阵：

输入矩阵：

A矩阵：

B矩阵：

二、代码实现

# 导入相关包import mathimport sysimport osimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport scipy.linalg as la# cubic_spline_planner为自己实现的三次样条插值方法try:from cubic_spline_planner import *except ImportError:raise

设置轨迹途经点并生成轨迹：

# 设置轨迹会经过的点ax = [0.0, 6.0, 12.5, 10.0, 17.5, 20.0, 25.0]ay = [0.0, -3.0, -5.0, 6.5, 3.0, 0.0, 0.0]goal = [ax[-1], ay[-1]]# 使用三次样条插值方法，根据途经点生成轨迹，x、y、yaw、曲率k，距离scx, cy, cyaw, ck, s = calc_spline_course(ax, ay, ds=0.1)# 绘制规划好的轨迹plt.plot(ax, ay, "xb", label="waypoints")plt.plot(cx, cy, "-r", label="target course")

生成的轨迹如下：

设置期望速度：

# 设置目标速度target_speed = 10.0 / 3.6  # simulation parameter km/h -> m/sspeed_profile = [target_speed] * len(cyaw)direction = 1.0# 转弯幅度较大时将速度设置为0，并将速度方向翻转# Set stop pointfor i in range(len(cyaw) - 1):dyaw = abs(cyaw[i + 1] - cyaw[i])switch = math.pi / 4.0 <= dyaw < math.pi / 2.0if switch:direction *= -1if direction != 1.0:speed_profile[i] = - target_speedelse:speed_profile[i] = target_speedif switch:speed_profile[i] = 0.0# 靠近目的地时，速度降低       # speed downfor i in range(40):speed_profile[-i] = target_speed / (50 - i)if speed_profile[-i] <= 1.0 / 3.6:speed_profile[-i] = 1.0 / 3.6plt.plot(speed_profile, "-b", label="speed_profile")

期望速度如下：

定义求解所需要的数据结构与方法：

# 定义LQR 计算所需要的数据结构，以及DLQR的求解方法# State 对象表示自车的状态，位置x、y，以及横摆角yaw、速度vclass State:def __init__(self, x=0.0, y=0.0, yaw=0.0, v=0.0):self.x = xself.y = yself.yaw = yawself.v = v# 更新自车的状态，采样时间足够小，则认为这段时间内速度相同，加速度相同，使用匀速模型更新位置def update(state, a, delta):if delta >= max_steer:delta = max_steerif delta <= - max_steer:delta = - max_steerstate.x = state.x + state.v * math.cos(state.yaw) * dtstate.y = state.y + state.v * math.sin(state.yaw) * dtstate.yaw = state.yaw + state.v / L * math.tan(delta) * dtstate.v = state.v + a * dtreturn statedef pi_2_pi(angle):return (angle + math.pi) % (2 * math.pi) - math.pi# 实现离散Riccati equation 的求解方法def solve_dare(A, B, Q, R):"""solve a discrete time_Algebraic Riccati equation (DARE)"""x = Qx_next = Qmax_iter = 150eps = 0.01for i in range(max_iter):x_next = A.T @ x @ A - A.T @ x @ B @ \la.inv(R + B.T @ x @ B) @ B.T @ x @ A + Qif (abs(x_next - x)).max() < eps:breakx = x_nextreturn x_next# 返回值K 即为LQR 问题求解方法中系数K的解def dlqr(A, B, Q, R):"""Solve the discrete time lqr controller.x[k+1] = A x[k] + B u[k]cost = sum x[k].T*Q*x[k] + u[k].T*R*u[k]# ref Bertsekas, p.151"""# first, try to solve the ricatti equationX = solve_dare(A, B, Q, R)# compute the LQR gainK = la.inv(B.T @ X @ B + R) @ (B.T @ X @ A)eig_result = la.eig(A - B @ K)return K, X, eig_result[0]# 计算距离自车当前位置最近的参考点def calc_nearest_index(state, cx, cy, cyaw):dx = [state.x - icx for icx in cx]dy = [state.y - icy for icy in cy]d = [idx ** 2 + idy ** 2 for (idx, idy) in zip(dx, dy)]mind = min(d)ind = d.index(mind)mind = math.sqrt(mind)dxl = cx[ind] - state.xdyl = cy[ind] - state.yangle = pi_2_pi(cyaw[ind] - math.atan2(dyl, dxl))if angle < 0:mind *= -1return ind, mind

设置起点参数：

# 设置起点的参数T = 500.0  # max simulation timegoal_dis = 0.3stop_speed = 0.05state = State(x=-0.0, y=-0.0, yaw=0.0, v=0.0)time = 0.0x = [state.x]y = [state.y]yaw = [state.yaw]v = [state.v]t = [0.0]pe, pth_e = 0.0, 0.0

使用LQR算法计算轨迹跟踪需要的加速度与前轮转角：

# 配置LQR 的参数# === Parameters =====# LQR parameterlqr_Q = np.eye(5)lqr_R = np.eye(2)dt = 0.1  # time tick[s]，采样时间L = 0.5  # Wheel base of the vehicle [m]，车辆轴距max_steer = np.deg2rad(45.0)  # maximum steering angle[rad]show_animation = Truewhile T >= time:ind, e = calc_nearest_index(state, cx, cy, cyaw)sp = speed_profiletv = sp[ind]k = ck[ind]v_state = state.vth_e = pi_2_pi(state.yaw - cyaw[ind])# 构建LQR表达式，X(k+1) = A * X(k) + B * u(k), 使用Riccati equation 求解LQR问题#    dt表示采样周期，v表示当前自车的速度#    A = [1.0, dt, 0.0, 0.0, 0.0#          0.0, 0.0, v, 0.0, 0.0]#          0.0, 0.0, 1.0, dt, 0.0]#          0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]#          0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]A = np.zeros((5, 5))A[0, 0] = 1.0A[0, 1] = dtA[1, 2] = v_stateA[2, 2] = 1.0A[2, 3] = dtA[4, 4] = 1.0# 构建B矩阵，L是自车的轴距# B = [0.0, 0.0#    0.0, 0.0#    0.0, 0.0#    v/L, 0.0#    0.0, dt]B = np.zeros((5, 2))B[3, 0] = v_state / LB[4, 1] = dtK, _, _ = dlqr(A, B, lqr_Q, lqr_R)# state vector，构建状态矩阵# x = [e, dot_e, th_e, dot_th_e, delta_v]# e: lateral distance to the path， e是自车到轨迹的距离# dot_e: derivative of e， dot_e是自车到轨迹的距离的变化率# th_e: angle difference to the path， th_e是自车与期望轨迹的角度偏差# dot_th_e: derivative of th_e， dot_th_e是自车与期望轨迹的角度偏差的变化率# delta_v: difference between current speed and target speed，delta_v是当前车速与期望车速的偏差X = np.zeros((5, 1))X[0, 0] = eX[1, 0] = (e - pe) / dtX[2, 0] = th_eX[3, 0] = (th_e - pth_e) / dtX[4, 0] = v_state - tv# input vector，构建输入矩阵u# u = [delta, accel]# delta: steering angle，前轮转角# accel: acceleration，自车加速度ustar = -K @ X# calc steering inputff = math.atan2(L * k, 1)  # feedforward steering anglefb = pi_2_pi(ustar[0, 0])  # feedback steering angledelta = ff + fb# calc accel inputaccel = ustar[1, 0]dl, target_ind, pe, pth_e, ai = delta, ind, e, th_e, accelstate = update(state, ai, dl)if abs(state.v) <= stop_speed:target_ind += 1time = time + dt# check goaldx = state.x - goal[0]dy = state.y - goal[1]if math.hypot(dx, dy) <= goal_dis:print("Goal")breakx.append(state.x)y.append(state.y)yaw.append(state.yaw)v.append(state.v)t.append(time)if target_ind % 100 == 0 and show_animation:plt.cla()# for stopping simulation with the esc key.plt.gcf().canvas.mpl_connect('key_release_event',lambda event: [exit(0) if event.key == 'escape' else None])plt.plot(cx, cy, "-r", label="course")plt.plot(x, y, "ob", label="trajectory")plt.plot(cx[target_ind], cy[target_ind], "xg", label="target")plt.axis("equal")plt.grid(True)plt.title("speed[km/h]:" + str(round(state.v * 3.6, 2))+ ",target index:" + str(target_ind) + ", time si: " + str(time))plt.pause(0.1)

结果可视化：

if show_animation:  # pragma: no coverplt.close()plt.subplots(1)plt.plot(ax, ay, "xb", label="waypoints")plt.plot(cx, cy, "-r", label="target course")plt.plot(x, y, "-g", label="tracking")plt.grid(True)plt.axis("equal")plt.xlabel("x[m]")plt.ylabel("y[m]")plt.legend()plt.subplots(1)plt.plot(s, [np.rad2deg(iyaw) for iyaw in cyaw], "-r", label="yaw")plt.grid(True)plt.legend()plt.xlabel("line length[m]")plt.ylabel("yaw angle[deg]")plt.subplots(1)plt.plot(s, ck, "-r", label="curvature")plt.grid(True)plt.legend()plt.xlabel("line length[m]")plt.ylabel("curvature [1/m]")plt.show()

轨迹跟踪结果：

三、结果分析

LQR算法一般用在NOP、TJA、LCC这些功能的横向控制，几种典型工况的轨迹跟踪效果如下：

1、正常变道工况

2、转弯工况

3、轴距对控制效果的影响

L = 0.5

L = 2.5

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