题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1054/

你现在需要设计一个密码SSS，SSS需要满足：SSS的长度是NNN；SSS只包含小写英文字母；SSS不包含子串TTT；例如：abcabcabc和abcdeabcdeabcde是abcdeabcdeabcde的子串，abdabdabd不是abcdeabcdeabcde的子串。请问共有多少种不同的密码满足要求？由于答案会非常大，请输出答案模109+710^9+7109+7的余数。

输入格式：
第一行输入整数NNN，表示密码的长度。第二行输入字符串TTT，TTT中只包含小写字母。

输出格式：
输出一个正整数，表示总方案数模109+710^9+7109+7后的结果。

数据范围：
1≤N≤501≤N≤501≤N≤50
1≤∣T∣≤N1≤|T|≤N1≤∣T∣≤N，∣T∣|T|∣T∣是TTT的长度。

字符串匹配的过程可以用状态机来模拟。实际上KMP算法就是在模拟一种状态机，该状态机是依据模式串生成，并且可以接受以模式串为子串的任意字符串。即，我们先由模式串生成KMP里的next数组，接着用这个数组构造出一个有限状态自动机，使得这个DFA（Deterministic Finite Automaton，确定有限状态自动机的英文缩写）只接受以该模式串为子串的字符串。我们以字符串"aba"为模式串举例，具体来说如下：
1、先求出s = "aba"的next数组。参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113805346。这里的next数组可以是未优化版的也可以是优化版的，因为本质上来说，它们构造出的DFA识别的语言是一样的。
2、构造一个DFA，它有三个状态，分别是0,1,2,30,1,2,30,1,2,3，000是初始状态，333是接受状态（该DFA只有一个接受状态）。先构造边δ(0,a)=1,δ(1,b)=2,δ(2,a)=3\delta(0,a)=1,\delta(1,b)=2,\delta(2,a)=3δ(0,a)=1,δ(1,b)=2,δ(2,a)=3，这三个转移边是显然的，对应的情况是恰好存在子串"aba"。接下来考虑失配边，这个字符串的next数组是ne=[−1,0,0]n_e=[-1,0,0]ne=[−1,0,0]，这个数组规定了如果在s[i]s[i]s[i]存在失配，应该如何跳转。跳转规则如下：比如在s[1]s[1]s[1]和s[2]s[2]s[2]处失配的时候（对应的是当前状态在111和222的时候，比如当前位于状态111，然后读入了'a'字符，这样就发生了失配），比如当前读到的字符是'c'，那么就回到状态000，然后继续在状态000处匹配'c'（也就是看一下s[0]s[0]s[0]是否等于'c'），仍然不匹配，那么就跳到ne[0]=−1n_e[0]=-1ne[0]=−1，这个−1-1−1并不是一个真实状态，它是一个虚拟的状态，假想s[−1]s[-1]s[−1]是一个通配符，可以匹配任意字符，那么此时就匹配上了，沿着这条虚拟的边走到状态000（所以我们可以特判一下状态−1-1−1就行了，不需要真在程序里写这个状态）；再比如，在状态111的时候读到了字符'b'，那么此时是匹配的，直接沿着匹配边走到下一个状态，也就是状态222。
3、总结一下该DFA的跳转规则。当当前位于状态iii，并且读入了字符α\alphaα的时候，进行如下循环：只要当前处于的状态jjj不是−1-1−1，并且s[j]s[j]s[j]和α\alphaα不匹配，那么就跳转到ne[j]n_e[j]ne[j]去，直到j=−1j=-1j=−1或者s[j]=αs[j]=\alphas[j]=α为止，此时沿着匹配边走一步到状态j+1j+1j+1去。总结来说就是δ(i,α)=j+1\delta(i,\alpha)=j+1δ(i,α)=j+1。

由于上述DFA接受某个字符串，当且仅当其以构造该DFA的模式串为子串。这样一来，要求不含SSS为子串的字符串数量，相当于就是在问，从DFA的状态000出发，跳转NNN次，并且中途和终点没有跳到接受状态lSl_SlS的路径个数。这可以用动态规划来做。设f[k][p]f[k][p]f[k][p]是跳kkk步跳到状态ppp的路径条数，那么可以按照跳到状态ppp之前在哪儿来分类，则有：f[k][p]=∑q→pf[k−1][q]f[k][p]=\sum_{q\to p} f[k-1][q]f[k][p]=q→p∑f[k−1][q]初始条件f[0][0]=1f[0][0]=1f[0][0]=1（因为初始状态就是状态000）。最终答案就是：∑p=0lS−1f[N][p]\sum_{p=0}^{l_S-1} f[N][p]p=0∑lS−1f[N][p]即跳NNN步没有跳到状态lSl_SlS的路径条数。

由于不方便知道某个状态之前是哪个状态，我们可以用当前状态来更新未来状态，即可以用f[k−1][q]f[k-1][q]f[k−1][q]来累加到f[k][p]f[k][p]f[k][p]上去。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 55, mod = 1e9 + 7;
int n, m;
char s[N];
int f[N][N];
int ne[N];// 求next数组
void build_ne() {ne[0] = -1;for (int i = 0, j = -1; i < m - 1;)if (j < 0 || s[j] == s[i]) {i++;j++;ne[i] = s[i] != s[j] ? j : ne[j];} else j = ne[j];
}int main() {scanf("%d%s", &n, s);m = strlen(s);build_ne();f[0][0] = 1;// 枚举步数for (int i = 1; i <= n; i++)// 枚举当前在哪个状态for (int j = 0; j < m; j++)// 枚举当前在状态j的时候获得的输入字符for (char ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) {// 开始计算从状态j开始，读入ch后会跳到哪个状态int u = j;while (u != -1 && ch != s[u]) u = ne[u];u++;// 状态s.size()是接受态，走到其的路径条数不用计算，否则累加一下路径条数if (u < m) f[i][u] = (f[i][u] + f[i - 1][j]) % mod;}int res = 0;for (int i = 0; i < m; i++) res = (res + f[n][i]) % mod;printf("%d\n", res);
}

时间复杂度O(NlS2)O(Nl_S^2)O(NlS2)，空间O(NlS)O(Nl_S)O(NlS)。

下面给出字符串下标从111开始的版本。此版本中，设字符串长度mmm，那么状态是0,1,...,m0,1,...,m0,1,...,m这些，其中mmm是匹配状态，本题中不考虑。每个状态uuu在读入字符串ccc的时候，当c≠s[u+1]c\ne s[u+1]c=s[u+1]的时候发生跳转，一直跳转到nek[u]ne^k[u]nek[u]直到u=0∨c=s[u+1]u=0\lor c= s[u+1]u=0∨c=s[u+1]成立，如果c=s[u+1]c=s[u+1]c=s[u+1]则uuu向后跳一格。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 55, mod = 1e9 + 7;
int n, m;
char s[N];
int f[N][N], ne[N];void build_ne() {for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {while (j && s[i] != s[j + 1]) j = ne[j];if (s[i] == s[j + 1]) j++;ne[i] = i < m && s[i + 1] != s[j + 1] ? j : ne[j];}
}int main() {cin >> n >> s + 1;m = strlen(s + 1);build_ne();f[0][0] = 1;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < m; j++)for (char ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) {int u = j;while (u && s[u + 1] != ch) u = ne[u];if (s[u + 1] == ch) u++;if (u < m) f[i + 1][u] = (f[i + 1][u] + f[i][j]) % mod;}int res = 0;for (int j = 0; j < m; j++) res = (res + f[n][j]) % mod;printf("%d\n", res);
}

时空复杂度一样。

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