一、概述

1.1 三角网的介绍

1.2 Delaunay三角形

二、三角网生长算法

2.1 建立第一个三角形

2.2 扩展TIN

三、各部分代码实现

3.1 数据结构

3.2 算法过程

3.3 代码不足

四、完整算法代码

五、相关参考

一、概述

1.1 三角网的介绍

三角网是由一系列连续三角形构成的网状的平面控制图形，是三角测量中布设连续三角形的两种主要扩展形式，同时向各方向扩展而构成网状.适用于地势起伏大，通视条件比较好的场地。

三角网是实现地形三维可视化，数字地面模型（Digital Terrain Model，简称DTM）是一种很有效的途径。DTM主要是由栅格和不规则三角网（Triangulated Irregular Network，简称TIN）两种数据格式来表示，相比于栅格TIN具有许多优点，几乎能适用于任何复杂的地形，所以TIN是DTM常采用的一种格式。

1.2 Delaunay三角形

Delaunay三角网的定义: 它是一系列相连的但不重叠的三角形的集合, 而且这些三角形的外接圆不包含这个面域的其他任何点。它具有两个特有的性质:

(1) 每个Delaunay三角形的外接圆不包含面内的其他任何点, 称之为Delaunay三角网的空外接圆性质, 这个特征已经作为创建Delaunay三角网的一项判别标准;

(2) 它的另一个性质最大最小角性质: 每两个相邻的三角形构成的凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。

【举例】

生成下图1、2、3、4、5、6、7、8点的泰森多边形

把点两两连起来，两两连接有很多种选择方式！于是使用了Delaunay的构造方法对其进行约束，得到了一个唯一的三角网（白色的部分，即为Delaunay三角网）
对三角形的每条边做中垂线，相交的点成了泰森多边形的顶点，构成了泰森多边形（紫色的多边形）

二、三角网生长算法

Delaunay三角网有一个特性，每个三角网形成的外接圆都不包含其他参考点。利用这一个性质，我们可以直接构成Delaunay三角网：

2.1 建立第一个三角形

1、判断用来建立TIN的总脚点数，小于3则报错退出。
2、第一点的选择：
链表的第一节点，命名为Pt1;
3、第二点的选择：
A.非Pt1点； B.距Pt1最近命名为Pt2
4、第三点的选择
A.非Pt1，Pt2点；
B.与Pt1，Pt2点组成的三角形的外接圆内无其他节点；
C.与Pt1，Pt2组成的三角形中的角Pt1Pt3Pt2最大。命名为Pt3
5、生成三边，加入边表
6、生成第一个三角形，组建三角形表

2.2 扩展TIN

1、从边表头取一边，要求：该边flag标志为假（只在一个三角形中）
2、从点链表中搜索一点，要求：
A、与边中的Pixel3在边的异侧；
B、该点与边组成的三角形的外接圆内无其他点
C、满足上面两条件的点中角Pt1Pt3Pt2最大的点为Pt3。
3、判断新生成的边，如果边表中没有，则加入边表尾，设定标志flag为假，如果有，则设定该边flag为真。
4、将生成的三角形假如三角形表
5、设定选中的边的标志flag为真
6、转至1，直至边表边的标志flag全部为真。

注：如果需要进行限制三角剖分，则可利用重心法取出不要的三角形，必要时，可对边界进行限制，不让生成的边与边界相交

三、各部分代码实现

3.1 数据结构

struct Pixel    //点数据
{double x, y, z;int Num;bool flag;
};
struct List //数据链表
{Pixel *pixel;List *next;
};
struct Line //三角形边
{Pixel *pixel1;  //三角形边一端点Pixel *pixel2;  //三角形边另一端点Pixel *pixel3;  //三角形边所对顶点bool flag;
};
struct Linelist //三角形边表
{Line *line;Linelist *next;
};
struct Triangle //三角形表
{Line *line1;Line *line2;Line *line3;Triangle *next;
};

3.2 算法过程

此部分对原文代码进行注释，对每一部分进行剖析，方便进行理解。

首先是构建第一个三角形

void BuildFirstTri(const List* list,Triangle* &tglnode,Linelist* &linehead, Linelist* &linelast,Line* &ln1, Line* &ln2, Line* &ln3,Pixel* &pt1, Pixel* &pt2, Pixel* &pt3)
{pt1 = list->pixel;//数据链中的首点//找离pt1最近点pt2pt2 = list->next->pixel;//数据链表中的第二点List* node;node = list->next->next;while (node != NULL){if (JudgeDis(pt1, pt2, node->pixel))pt2 = node->pixel;node = node->next;}//找第三个点//重新初始化node为链表第一点的nextnode = list->next;getPoint3(node, pt3, pt1, pt2);//根据三点构建三角形Linelist* linenode;//构建边ln1linenode = new Linelist();BuildLine(pt1, pt2, pt3, linenode);ln1 = linenode->line;//设置边链表的头尾指针linehead = linelast = linenode;//构建边ln2linenode = new Linelist();BuildLine(pt2, pt3, pt1, linenode);ln2 = linenode->line;//设置边链表的尾指针AddLine(linelast, linenode);//构建边ln3linenode = new Linelist();BuildLine(pt3, pt1, pt2, linenode);ln3 = linenode->line;//设置边链表的尾指针AddLine(linelast, linenode);//first Triangle//构建三角形tglnode = new Triangle;tglnode->line1 = ln1;tglnode->line2 = ln2;tglnode->line3 = ln3;tglnode->next = NULL;
}

完成第一个三角形的构建之后，将三角形链表进行更新，把第一个三角形加入其中。

//第一个三角形构建完毕！更新三角形链表tglhead = tgllast = tglnode;

再将点集、三角网指针、边的集合、点的集合传入TIN的构建函数之后，以第一个三角形构建的方式构建其他三角形，知道所有点均被遍历到结束，完成三角网的构建。

void BuildTIN(List* &list,Linelist* &linehead, Linelist* &linelast,Line* &ln1, Line* &ln2, Line* &ln3,Pixel* &pt1, Pixel* &pt2, Pixel* &pt3,bool &flag, Triangle* &tglnode, Triangle* &tgllast)
{Linelist *linetmp, *linetemp;List *pixeltmp;double x1, y1, x2, y2, x3, y3;linetmp = linehead;//三角网边链表的头指针while (linetmp != NULL){if (linetmp->line->flag == true)//该边已经在三角网中{linetmp = linetmp->next;continue;}//获取当前边、当前边的结点pt1 pt2 及该边所属三角形中的第三个点(x3,y3)ln1 = linetmp->line;//初始化三角形边pt1 pt2 --ln1pt1 = linetmp->line->pixel1;pt2 = linetmp->line->pixel2;//当前三角形的三个结点坐标x1 = linetmp->line->pixel1->x;y1 = linetmp->line->pixel1->y;x2 = linetmp->line->pixel2->x;y2 = linetmp->line->pixel2->y;x3 = linetmp->line->pixel3->x;y3 = linetmp->line->pixel3->y;pixeltmp = list;//获取结点链表头指针//寻找下一结点pt3//getPoint3(pixeltmp, pt3, pt1, pt2);//有新增条件，不可复用pt3 = NULL;while (pixeltmp != NULL){if (pixeltmp->pixel == pt1 || pixeltmp->pixel == pt2){pixeltmp = pixeltmp->next;continue;}//判断该结点是否与该边所属三角形另一结点同侧--新增条件if (JudgeSameSide(x1, x2, y1, y2, x3, y3, pixeltmp->pixel)){pixeltmp = pixeltmp->next;continue;}//为pt3赋值if (pt3 == NULL)pt3 = pixeltmp->pixel;else//遍历所有结点，寻找最佳pt3{if (JudgePoint(pt1, pt2, pt3, pixeltmp->pixel))pt3 = pixeltmp->pixel;}pixeltmp = pixeltmp->next;}//初始化三角形边ln2if (pt3 != NULL){linetemp = linehead;flag = false;//遍历所有边，将pt1 pt3所在边ln2 flag置为truesetLineFlag(linetemp, pt1, pt2, pt3, ln2, linelast, flag);//初始化三角形边ln3linetemp = linehead;flag = false;//遍历所有边，将pt2 pt3所在边ln3 flag置为truesetLineFlag(linetemp, pt2, pt1, pt3, ln3,linelast, flag);//构建三角形tglnode = new Triangle;tglnode->line1 = ln1;tglnode->line2 = ln2;tglnode->line3 = ln3;tglnode->next = NULL;//更新三角形链表tgllast->next = tglnode;tgllast = tglnode;}//当前边的flag置为true（遍历构建三角网完成）linetmp->line->flag = true;linetmp = linetmp->next;}
}

主体代码

//以下是程序中关于建网的部分：
//功能：   用给定的数据链表数据，组建Delaunay不规则三角网
//输入参数：数据链表list;
//输出参数：不规则三角网首三角形地址Triangle* CreateDelaunayTIN(List *list)
{//组建第一个三角形//List *node;Pixel *pt1, *pt2, *pt3;//三角形三个顶点bool flag;Line *ln1, *ln2, *ln3;//三角形的三条边Linelist *linehead, *linelast;// *linenode ;//三角网的边链表Triangle *tglhead, *tglnode, *tgllast;//三角网的三角形链表BuildFirstTri(list,tglnode,linehead,linelast,ln1,ln2,ln3,pt1,pt2,pt3);//第一个三角形构建完毕！更新三角形链表tglhead = tgllast = tglnode;BuildTIN(list,linehead,linelast,ln1,ln2,ln3,pt1,pt2,pt3,flag,tglnode,tgllast);Triangle *TIN;//创建三角网TIN = tglhead;return TIN;
}

3.3 代码不足

1.通过对结点链表的一次次遍历，效率较低，还需优化。此外，算法大多数代码重复，需要对函数进行封装，提高代码复用效率。

2.对于前两个结点的确定，寻找与当前结点最近结点算法需优化；对于已确定三角形两顶点，寻找三角形第三个顶点方法需进行优化（减少遍历次数）

3.对于第一个点的确定，最后找位于点集中心的点而非随机取点

四、完整算法代码

此处代码为原始博客内容Delaunay三角剖分—三角网生长算法_sinat_27434117的博客-CSDN博客_三角网生长算法

此处为对该代码进行封装后，并完成测试的完整代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#include <string>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <list>struct Pixel    //脚点数据
{double x, y, z;int Num;bool flag;
};
struct List //数据链表
{Pixel *pixel;List *next;
};
struct Line //三角形边
{Pixel *pixel1;  //三角形边一端点Pixel *pixel2;  //三角形边另一端点Pixel *pixel3;  //三角形边所对顶点bool flag;
};
struct Linelist //三角形边表
{Line *line;Linelist *next;Linelist() { line = new Line; }
};
struct Triangle //三角形表
{Line *line1;Line *line2;Line *line3;Triangle *next;
};bool JudgeDis(Pixel* pt1, Pixel* pt2, Pixel *node) {//比较链表中node与pt2到pt1的距离return (pt1->x - node->x)*(pt1->x - node->x) + (pt1->y - node->y)*(pt1->y - node->y) < (pt1->x - pt2->x)*(pt1->x - pt2->x) + (pt1->y - pt2->y)*(pt1->y - pt2->y);
}bool JudgePoint(Pixel* pt1, Pixel* pt2, Pixel* pt3, Pixel* node) {//比较链表中node pt3与pt1 pt2所成角的大小double dist11 = sqrt((pt1->x - node->x)*(pt1->x - node->x) + (pt1->y - node->y)*(pt1->y - node->y));double dist12 = sqrt((pt2->x - node->x)*(pt2->x - node->x) + (pt2->y - node->y)*(pt2->y - node->y));double dist12_3 = sqrt((pt1->x - pt2->x)*(pt1->x - pt2->x) + (pt1->y - pt2->y)*(pt1->y - pt2->y));double dist21 = sqrt((pt1->x - pt3->x)*(pt1->x - pt3->x) + (pt1->y - pt3->y)*(pt1->y - pt3->y));double dist22 = sqrt((pt3->x - pt2->x)*(pt3->x - pt2->x) + (pt3->y - pt2->y)*(pt3->y - pt2->y));return ((pow(dist11, 2) + pow(dist12, 2) - pow(dist12_3, 2)) / (2 * dist11*dist12) < (pow(dist21, 2) + pow(dist22, 2) - pow(dist12_3, 2)) / (2 * dist21*dist22)); //余弦判断角度
}bool JudgeSameSide(double x1,double x2,double y1,double y2,double x3,double y3,Pixel* pixeltmp) {//判断该结点是否与该边所属三角形另一结点同侧//return ((pt2->y - pt1->y)*pixeltmp->x + (pt1->x - pt2->x)*pixeltmp->y + (pt2->x*pt1->y - pt1->x * pt2->y))*((pt2->y - pt1->y)*pt3->x + (pt1->x - pt2->x)*pt3->y + (pt2->x*pt1->y - pt1->x * pt2->y)) >= 0;return     ((y2 - y1)*pixeltmp->x + (x1 - x2)*pixeltmp -> y + (x2*y1 - x1 * y2))   *((y2 - y1)*x3 + (x1 - x2)*y3 + (x2*y1 - x1 * y2)) >= 0;
}bool isInLineList(Pixel* pt1, Pixel* pt2,Line* linetemp) {//判断边pt1 pt2是否与linetemp相同return (pt1 == linetemp->pixel1 && pt2 == linetemp->pixel2) || (pt2 == linetemp->pixel1 && pt1 == linetemp->pixel2);
}void BuildLine(Pixel* pt1,Pixel* pt2,Pixel* pt3, Linelist* &linenode) {//将当前边加入linenode边链表中linenode->line->pixel1 = pt1;linenode->line->pixel2 = pt2;linenode->line->pixel3 = pt3;linenode->line->flag = false;linenode->next = NULL;
}void AddLine(Linelist* &linelast, Linelist* linenode) {//边链表中添加边linelast->next = linenode;linelast = linenode;
}void getPoint3(List* &node, Pixel* &pt3, Pixel* pt1, Pixel* pt2) {//根据已知pt1 pt2 从node链表中寻找最佳pt3pt3 = NULL;while (node != NULL){if (node->pixel == pt1 || node->pixel == pt2){node = node->next;continue;}if (pt3 == NULL){pt3 = node->pixel;}else{//比较当前结点pixel与pt3谁更合适--选取夹角最大的点if (JudgePoint(pt1, pt2, pt3, node->pixel))pt3 = node->pixel;}node = node->next;}
}void setLineFlag(Linelist* &linetemp,Pixel* &pt1,Pixel* &pt2,Pixel* &pt3,Line* &ln,Linelist* &linelast,bool& flag)
{//遍历linetemp所有边，将pt1 pt3所在边ln的flag置为true，并更新三角网中的边链表linelastwhile (linetemp != NULL){if (isInLineList(pt1, pt3, linetemp->line)) {linetemp->line->flag = true;flag = true;ln = linetemp->line;//初始化三角形边ln2break;}linetemp = linetemp->next;}if (!flag)//该边不在三角网的边链表中{Linelist* linenode = new Linelist();linenode->line->pixel1 = pt3;linenode->line->pixel2 = pt1;linenode->line->pixel3 = pt2;linenode->line->flag = false;linenode->next = NULL;//更新三角网的边链表linelast->next = linenode;linelast = linenode;ln = linenode->line;//初始化三角形边ln2}
}void BuildFirstTri(const List* list,Triangle* &tglnode,Linelist* &linehead, Linelist* &linelast,Line* &ln1, Line* &ln2, Line* &ln3,Pixel* &pt1, Pixel* &pt2, Pixel* &pt3)
{pt1 = list->pixel;//数据链中的首点//找离pt1最近点pt2pt2 = list->next->pixel;//数据链表中的第二点List* node;node = list->next->next;while (node != NULL){if (JudgeDis(pt1, pt2, node->pixel))pt2 = node->pixel;node = node->next;}//找第三个点//重新初始化node为链表第一点的nextnode = list->next;getPoint3(node, pt3, pt1, pt2);//根据三点构建三角形Linelist* linenode;//构建边ln1linenode = new Linelist();BuildLine(pt1, pt2, pt3, linenode);ln1 = linenode->line;//设置边链表的头尾指针linehead = linelast = linenode;//构建边ln2linenode = new Linelist();BuildLine(pt2, pt3, pt1, linenode);ln2 = linenode->line;//设置边链表的尾指针AddLine(linelast, linenode);//构建边ln3linenode = new Linelist();BuildLine(pt3, pt1, pt2, linenode);ln3 = linenode->line;//设置边链表的尾指针AddLine(linelast, linenode);//first Triangle//构建三角形tglnode = new Triangle;tglnode->line1 = ln1;tglnode->line2 = ln2;tglnode->line3 = ln3;tglnode->next = NULL;
}void BuildTIN(List* &list,Linelist* &linehead, Linelist* &linelast,Line* &ln1, Line* &ln2, Line* &ln3,Pixel* &pt1, Pixel* &pt2, Pixel* &pt3,bool &flag, Triangle* &tglnode, Triangle* &tgllast)
{Linelist *linetmp, *linetemp;List *pixeltmp;double x1, y1, x2, y2, x3, y3;linetmp = linehead;//三角网边链表的头指针while (linetmp != NULL){if (linetmp->line->flag == true)//该边已经在三角网中{linetmp = linetmp->next;continue;}//获取当前边、当前边的结点pt1 pt2 及该边所属三角形中的第三个点(x3,y3)ln1 = linetmp->line;//初始化三角形边pt1 pt2 --ln1pt1 = linetmp->line->pixel1;pt2 = linetmp->line->pixel2;//当前三角形的三个结点坐标x1 = linetmp->line->pixel1->x;y1 = linetmp->line->pixel1->y;x2 = linetmp->line->pixel2->x;y2 = linetmp->line->pixel2->y;x3 = linetmp->line->pixel3->x;y3 = linetmp->line->pixel3->y;pixeltmp = list;//获取结点链表头指针//寻找下一结点pt3//getPoint3(pixeltmp, pt3, pt1, pt2);//有新增条件，不可复用pt3 = NULL;while (pixeltmp != NULL){if (pixeltmp->pixel == pt1 || pixeltmp->pixel == pt2){pixeltmp = pixeltmp->next;continue;}//判断该结点是否与该边所属三角形另一结点同侧--新增条件if (JudgeSameSide(x1, x2, y1, y2, x3, y3, pixeltmp->pixel)){pixeltmp = pixeltmp->next;continue;}//为pt3赋值if (pt3 == NULL)pt3 = pixeltmp->pixel;else//遍历所有结点，寻找最佳pt3{if (JudgePoint(pt1, pt2, pt3, pixeltmp->pixel))pt3 = pixeltmp->pixel;}pixeltmp = pixeltmp->next;}//初始化三角形边ln2if (pt3 != NULL){linetemp = linehead;flag = false;//遍历所有边，将pt1 pt3所在边ln2 flag置为truesetLineFlag(linetemp, pt1, pt2, pt3, ln2, linelast, flag);//初始化三角形边ln3linetemp = linehead;flag = false;//遍历所有边，将pt2 pt3所在边ln3 flag置为truesetLineFlag(linetemp, pt2, pt1, pt3, ln3,linelast, flag);//构建三角形tglnode = new Triangle;tglnode->line1 = ln1;tglnode->line2 = ln2;tglnode->line3 = ln3;tglnode->next = NULL;//更新三角形链表tgllast->next = tglnode;tgllast = tglnode;}//当前边的flag置为true（遍历构建三角网完成）linetmp->line->flag = true;linetmp = linetmp->next;}
}//以下是程序中关于建网的部分：
//功能：   用给定的数据链表数据，组建Delaunay不规则三角网
//输入参数：数据链表list;
//输出参数：不规则三角网首三角形地址Triangle* CreateDelaunayTIN(List *list)
{//组建第一个三角形//List *node;Pixel *pt1, *pt2, *pt3;//三角形三个顶点bool flag;Line *ln1, *ln2, *ln3;//三角形的三条边Linelist *linehead, *linelast;// *linenode ;//三角网的边链表Triangle *tglhead, *tglnode, *tgllast;//三角网的三角形链表BuildFirstTri(list,tglnode,linehead,linelast,ln1,ln2,ln3,pt1,pt2,pt3);//第一个三角形构建完毕！更新三角形链表tglhead = tgllast = tglnode;BuildTIN(list,linehead,linelast,ln1,ln2,ln3,pt1,pt2,pt3,flag,tglnode,tgllast);Triangle *TIN;//创建三角网TIN = tglhead;return TIN;
}void printList(List* list) {cout << "List:\n";while (list != NULL) {cout << list->pixel->Num << ": " << list->pixel->x << "," << list->pixel->y << endl;list = list->next;}
}int main()
{//此处已删除读入点集数据文件//pts信息:vector<MyPoint>//MyPoint数据结构如下//ptNum:点的序号 x:点的投影坐标X y:点的投影坐标Y z:点的高程ZList *ListHead, *ListNode, *ListLast;ListHead = ListNode =ListLast=NULL;for (int i = 0; i < pts.size(); i++) {Pixel* p = new Pixel();p->x = pts.at(i).x;p->y = pts.at(i).y;p->z = pts.at(i).z;p->Num = pts.at(i).ptNum;List* Node = new List();Node->pixel = p;Node->next = NULL;if (i == 0) { ListHead = Node;ListNode = ListHead;}else {ListNode->next = Node;ListNode = ListNode->next;ListLast = ListNode;}}printList(ListHead);Triangle* tri = new Triangle();tri=CreateDelaunayTIN(ListHead);int i = 0;while (tri != NULL) {cout << i << ": " << " e1:  p1: " << tri->line1->pixel1->Num << " p2: " << tri->line1->pixel2->Num << " e2:  p1: " << tri->line2->pixel1->Num << " p2: " << tri->line2->pixel2->Num<< " e3:  p1: " << tri->line3->pixel1->Num << " p2: " << tri->line3->pixel2->Num <<"\t"<< endl;tri = tri->next;i++;}return 0;
}

输出结果

五、相关参考

参考内容：

三角网_百度百科

[GIS原理] 8.2 空间分析 - Delaunay三角网/Thiessen多边形(Voronoi图) - GIS开发者

Delaunay三角剖分—三角网生长算法_sinat_27434117的博客-CSDN博客_三角网生长算法

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2.2 扩展TIN

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3.3 代码不足

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