#886.[Violet5]樱花题解

题意概括：

题目意思很明白，输入一个 i n t int int类型整数 n n n ( 1 < = n < = 1 0 6 1<=n<=10^6 1<=n<=106 ) 求方程 1 x + 1 y = 1 n ! \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!} x1+y1=n!1 ( n ! n! n! 表示 n n n 的阶乘，即 n ! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × n n!=1\times2\times3\times······\times n n!=1×2×3×⋅⋅⋅⋅⋅⋅×n ) 解的个数

题目分析：

肯定是一个数论题~~(废话)~~，题目中的方程直接枚举是 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) 的时间复杂度，绝对会 T L E TLE TLE ，那么就对方程进行分析：
1 x + 1 y = 1 n ! 设 n ! = k ， \begin{aligned} & \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n!}\\ & 设 n!=k，\\ \end{aligned} x1+y1=n!1设n!=k，
第一眼看上去， x x x 和 y y y 都是一次的整数，只有 n ! n! n! 是一个式子，所以用一个未知数代替，方便运算和思考。其实就是我懒对原方程进行化简，我习惯把 x x x 当作主元，用 y y y 也可以。把 y y y 和 k k k 当作一个常数，用解普通方程的步骤去解。
∴ 1 x + 1 y = 1 k 1 x = 1 k − 1 y 1 x = y k y − k k y 1 x = y − k k y x = k y y − k \begin{aligned} & \therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{k}\\ & \frac{1}{x} = \frac{1}{k} - \frac{1}{y}\\ & \frac{1}{x} = \frac{y}{ky} - \frac{k}{ky}\\ & \frac{1}{x} = \frac{y-k}{ky}\\ & x = \frac{ky}{y-k}\\ \end{aligned} ∴x1+y1=k1x1=k1−y1x1=kyy−kykx1=kyy−kx=y−kky
这时，无法对方程继续化简，但分式上下都有 y y y 和 k k k ，所以可以考虑再设一个关于 y y y 和 k k k 的未知数，去表达 y y y 和 k k k 的关系。
设 y − k = p ， ∴ y = k + p \begin{aligned} & 设 y-k = p，\\ & \therefore y = k + p\\ \end{aligned} 设y−k=p，∴y=k+p
找到之后，就可以把 y = k + p y=k+p y=k+p 代入方程，得到
∴ x = k ( k + p ) p ∴ x = k + k 2 p \begin{aligned} & \therefore x = \frac{k(k+p)}{p}\\ & \therefore x = k+\frac{k^2}{p}\\ \end{aligned} ∴x=pk(k+p)∴x=k+pk2
解出 x x x 的值后，观察式子，发现可以运用文化课上讲过的整数的性质，
∵ x ， k = n ! 为正整数 ∴ p ∣ k 2 ∴ y − n ! ∣ ( n ! ) 2 ∴ ( y − n ! ) 为 ( n ! ) 2 的因子 ∴ ( y − n ! ) 为 n ! 的因子 ∵ y ， n ! 为正整数 ∴ x 为正整数 ∴ 只要 ( y − n ! ) 为 n ! 的因子，就有原方程的一组解 \begin{aligned} & \because x，k=n!为正整数\\ & \therefore p \mid k^2\\ & \therefore y-n! \mid (n!)^2\\ & \therefore (y-n!) 为(n!)^2的因子\\ & \therefore (y-n!) 为n!的因子\\ & \because y，n!为正整数\\ & \therefore x为正整数\\ & \therefore 只要(y-n!)为n!的因子，就有原方程的一组解\\ \end{aligned} ∵x，k=n!为正整数∴p∣k2∴y−n!∣(n!)2∴(y−n!)为(n!)2的因子∴(y−n!)为n!的因子∵y，n!为正整数∴x为正整数∴只要(y−n!)为n!的因子，就有原方程的一组解
通过分析，就可以把原问题转化为求 n ! n! n!的因子数

代码实现

由唯一分解定理，我们只需要解出n!的质因数，balabala的一个埃氏筛函数

int primes[1000005];//记录质因数
bool st[1000005];//标记是否为质数
int cnt;
int n;
long long ans=1;
void prime_set(int n){st[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){if (!st[i])primes[++cnt]=i;for (int j=1;j<=cnt&&primes[j]*i<=n;j++){st[primes[j]*i]=1;if (i%primes[j]==0){break;}}}
}

通过唯一分解定理的另一个公式，即
n 的因子数 = ∏ i = 0 质因子个数质因子 i 的个数 + 1 n的因子数=\prod\limits_{i=0}^{质因子个数}质因子i的个数+1 n的因子数=i=0∏质因子个数质因子i的个数+1
就可以得到答案了

prime_set(n);
for (int i = 1; i <= cnt; i++){int s = 0;for (int j=n;j;j/=primes[i]){s+=j/primes[i];}ans=1ll*ans*(s<<1|1)%P;//1ll用来防止数据溢出
}
printf("%lld",ans);

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define P 1000000007
using namespace std;
int primes[1000005];
bool st[1000005];
int cnt;
int n;
long long ans=1;
void prime_set(int n){st[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){if (!st[i])primes[++cnt]=i;for (int j=1;j<=cnt&&primes[j]*i<=n;j++){st[primes[j]*i]=1;if (i%primes[j]==0){break;}}}
}
int main(){scanf("%d",&n);prime_set(n);for (int i = 1; i <= cnt; i++){int s = 0;for (int j=n;j;j/=primes[i]){s+=j/primes[i];}ans=1ll*ans*(s<<1|1)%P;}printf("%lld",ans);return 0;
}