实习还是能学到很多学校学不到的东西，总结下实习期间学到的一个自适应控制方法。最近比较忙，先大致写下原理的笔记供自己复习，后面有空再更下仿真。如有错误请不吝赐教~

背景

举个例子，目前公司自动驾驶车队主要有几款不同的车型，不同车型的方向盘型号都不同，可能有的用国产转向器，有的用进口转向器，有的车方向盘响应速度慢，有的方向盘响应速度快。不同的转向器在面对同一个上层算法指令时，所表现的执行效果肯定不完全相同。而且自动驾驶车队越庞大，同一算法下不同执行器的响应误差也就越大。为了使同一上层算法在不同执行器上执行效果尽可能相同，我们选用了模型参考自适应控制(Model Reference Adaptive Control, MRAC)。

为什么选择MRAC控制器

相比其他自适应控制器，MRAC可以自己设计一个参考的模型，使得不同的控制器在同一控制指令下，能够和我们自己设计的参考模型的响应曲线相同，而不受被控系统本身的性能影响。且参考模型的性能要好于真实模型，如果参考模型性能还不如真实模型，那也没必要用参考模型来拉低原来的控制效果了。

整体框架

MRAC控制器整体框架如下图所示，MRAC在自动驾驶中往往与上层控制算法共同使用，根据上层的横向/纵向控制算法（MPC、LQR/PID）输出的参考输入，即方向盘转角/油门开度，经过自适应控制器重新计算输入，并作用于被控系统(方向盘/油门)。下面详细说明各模块计算方法。

基于Lyapunov方法证明了控制器的全局稳定性，Lyapunov法是一种无须求解系统的动力学方程，就可以直接评估非线性系统平衡点稳定性的强有力工具。

定义：若函数 V(x) 满足下述条件：

V(x) 是正定的，即 V(x) > 0 并且具有连续的一阶偏导数；
至少是半负定的，即 dot V(x) ≤ 0。

根据Barbalat's Lemma，如果满足以上两个条件，则控制器稳定。

设计Lyapunov函数如下所示

控制器公式推导可以参考这两篇博客，本文就直接列出公式推导结果了。MATLAB2022也给出了几个MRAC的demo，有兴趣可以试试。

Apollo模型参考自适应控制MRAC (二)-MRAC例题_cyytum的博客-CSDN博客

Model Reference Adaptive Control (MRAC)（1） - 知乎

Model Reference Adaptive Control- MATLAB & Simulink- MathWorks 中国

参考模型

本文只讨论一阶模型的MRAC，状态方程如下：

式中：

r(t)是参考的输入(上层MPC/PID的参考控制指令)
xm(t)是参考控制系统状态（方向盘转角/油门开度）。由于r(t)已知，因此可以通过微分方程，使用龙格库塔或者双线性变换方法，仿真计算下一帧的xm(t)。
Am是参考系统状态转换参数矩阵。对于一个稳定系统来说，Am<0。
Bm是参考系统控制参数矩阵(对于一阶模型，Am和Bm均为为1×1的矩阵)。

对于一阶系统而言，有一个重要的性能指标：时间常数(TIme constant)，用tau表示，它反映了一一阶系统的响应速度。a越大，tau越小，系统的反应速度越快，tau的计算公式：

控制器输入计算公式

控制器的设计如下图所示，计算输入u(t)公式：

式中：

x(t)是控制系统状态（方向盘转角/油门开度）
r(t)是参考的输入(上层MPC/PID的参考控制指令)
kx和kr分别是反馈、前馈控制增益（即自适应控制增益）

真实模型

在实际工程中，我们是不知道真实控制器的模型参数的（不同执行器的参数可能不同，如果知道了也不需要用模型参考自适应控制了，直接用真实模型参数计算就完事了）。因此仿真实验只能借鉴一个近似于实际控制器的参数，来模拟上车后达到的效果。

式中：

xp(t)是真实控制系统状态(我们想要控制的状态)
u(t)是控制器计算的输入
Ap和Bp分别是真实模型的参数矩阵
f(x)是输入的扰动量(实际工程中很常见)

自适应控制率

自适应控制率即为kx和kr的变化率，按以下方式计算：

式中：

Γx和Γr是自适应增益变化的步长，它决定了自适应控制率收敛的快慢，也是实际使用中唯一能调的参数。
e(t)是参考模型的状态和真实模型状态之间的误差

扩展

1、具有纯延时的一阶系统使用MRAC能否全局稳定？

上面介绍的是最简单的一阶MRAC系统，该系统是全局稳定的，但具有延时的系统是否还能全局稳定呢？

实际工程中，许多被控对象都可以被视作是具有纯延时的系统。纯延时系统即被控对象的控制效果具有延迟，现在的控制指令td时间之后才能作用到控制器上。我们在公式推导时推导出的全局稳定是在u(t)能够立刻执行的基础上的，而一阶纯延时系统是拿在td时间之前能使系统稳定的输入，去给td时间之后执行。在原理上不能保证td之前的输入u(t)在td时间之后还能使系统稳定，因此这个系统不是一个全局稳定的系统，只能在某些条件下稳定，是一个局部稳定系统。

2、控制器优化思路

给自适应控制增益加上一个修正系数，让自适应变化率能够参考上一次的自适应控制增益。试过，用处不是很大，在应对纯延时系统时有一点帮助。

参考

[1]Apollo模型参考自适应控制MRAC (二)-MRAC例题_cyytum的博客-CSDN博客

[2]Model Reference Adaptive Control (MRAC)（1） - 知乎

[3]Model Reference Adaptive Control- MATLAB & Simulink- MathWorks 中国

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