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如果需要检测到图像里面的边缘，首先我们需要知道边缘处具有什么特征。

对于一幅灰度图像来说，边缘两边的灰度值肯定不相同，这样我们才能分辨出哪里是边缘，哪里不是。

因此，如果我们需要检测一个灰度图像的边缘，我们需要找出哪里的灰度变化最大。显然，灰度变化越大，对比度越强，边缘就越明显。

那么问题来了，我们怎么知道哪里灰度变化大，哪里灰度变化小呢？

导数，梯度，边缘信息

在数学中，与变化率有关的就是导数。

如果灰度图像的像素是连续的(实际不是)，那么我们可以分别原图像G对x方向和y方向求导数

，

获得x方向的导数图像Gx和y方向的导数图像Gy。Gx和Gy分别隐含了x和y方向的灰度变化信息，也就隐含了边缘信息。

如果要在同一图像上包含两个方向的边缘信息，我们可以用到梯度。(梯度是一个向量)

原图像的梯度向量Gxy为(Gx,Gy),梯度向量的大小和方向可以用下面两个式子计算

角度值好像需要根据向量所在象限不同适当+pi或者-pi。

梯度向量大小就包含了x方向和y方向的边缘信息。

图像导数

实际上，图像矩阵是离散的。

连续函数求变化率用的是导数，而离散函数求变化率用的是差分。

差分的概念很容易理解，就是用相邻两个数的差来表示变化率。

下面公式是向后差分

x方向的差分：Gx(n,y) = G(n,y)-G(n-1,y)

y方向的差分：Gy(x,n) = G(x,n)-G(x,n-1)

实际计算图像导数时，我们是通过原图像和一个算子进行卷积来完成的(这种方法是求图像的近似导数)。

最简单的求图像导数的算子是Prewitt算子：

x方向的Prewitt算子为

y方向的Prewitt算子为

---------------------------------------------

原图像和一个算子进行卷积的大概过程如下

如果图像矩阵中一块区域为

那么x5处的x方向的导数是，将x方向算子的中心和x5重合，然后对应元素相乘再求和，即

x5处的x方向导数为x3+x6+x9-x1-x4-x7

对矩阵中所有元素进行上述计算，就是卷积的过程。

--------------------------------------------

因此，利用原图像和x方向Prewitt算子进行卷积就可以得到图像的x方向导数矩阵Gx，

利用原图像和y方向Prewitt算子进行卷积就可以得到图像的y方向导数矩阵Gy。

利用公式

就可以得到图像的梯度矩阵Gxy，这个矩阵包含图像x方向和y方向的边缘信息。

Python实现卷积及Prewitt算子的边缘检测

首先我们把图像卷积函数封装在一个名为imconv的函数中

importnumpy as npfrom PIL importImagedefimconv(image_array,suanzi):‘‘‘计算卷积

参数

image_array 原灰度图像矩阵

suanzi 算子

返回

原图像与算子卷积后的结果矩阵‘‘‘image= image_array.copy() #原图像矩阵的深拷贝

dim1,dim2=image.shape#对每个元素与算子进行乘积再求和(忽略最外圈边框像素)

for i in range(1,dim1-1):for j in range(1,dim2-1):

image[i,j]= (image_array[(i-1):(i+2),(j-1):(j+2)]*suanzi).sum()#由于卷积后灰度值不一定在0-255之间，统一化成0-255

image = image*(255.0/image.max())#返回结果矩阵

return image

然后我们利用Prewitt算子计算x方向导数矩阵Gx，y方向导数矩阵Gy，和梯度矩阵Gxy。

importnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt#x方向的Prewitt算子

suanzi_x = np.array([[-1, 0, 1],

[-1, 0, 1],

[-1, 0, 1]])#y方向的Prewitt算子

suanzi_y = np.array([[-1,-1,-1],

[ 0, 0, 0],

[1, 1, 1]])#打开图像并转化成灰度图像

image = Image.open("pika.jpg").convert("L")#转化成图像矩阵

image_array =np.array(image)#得到x方向矩阵

image_x =imconv(image_array,suanzi_x)#得到y方向矩阵

image_y =imconv(image_array,suanzi_y)#得到梯度矩阵

image_xy = np.sqrt(image_x**2+image_y**2)#梯度矩阵统一到0-255

image_xy = (255.0/image_xy.max())*image_xy#绘出图像

plt.subplot(2,2,1)

plt.imshow(image_array,cmap=cm.gray)

plt.axis("off")

plt.subplot(2,2,2)

plt.imshow(image_x,cmap=cm.gray)

plt.axis("off")

plt.subplot(2,2,3)

plt.imshow(image_y,cmap=cm.gray)

plt.axis("off")

plt.subplot(2,2,4)

plt.imshow(image_xy,cmap=cm.gray)

plt.axis("off")

plt.show()

Prewitt算子的结果如下图所示

上方：左图为原图像，右图为x方向导数图像

下方：左图为y方向导数图像，右图为梯度图像

从图中可以看出，Prewitt算子虽然能检测出图像边缘，但是检测结果较为粗糙，还带有大量的噪声。

近似导数的Sobel算子

Sobel算子与Prewitt比较类似，但是它比Prewitt算子要好一些。

x方向的Sobel算子为

y方向的Sobel算子为

python代码只需要将上面代码中的Prewitt算子改成Sobel算子即可。

#x方向的Sobel算子

suanzi_x = np.array([[-1, 0, 1],

[-2, 0, 2],

[-1, 0, 1]])#y方向的Sobel算子

suanzi_y = np.array([[-1,-2,-1],

[ 0, 0, 0],

[1, 2, 1]])

Sobel算子的结果如下图所示

上方：左图为原图像，右图为x方向导数图像

下方：左图为y方向导数图像，右图为梯度图像

从图中看出，比较Prewitt算子和Sobel算子，Sobel算子稍微减少了一点噪声，但噪声还是比较多的。

未完，待续

参考列表

1.《python计算机视觉编程》

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