题目

https://atcoder.jp/contests/agc054/tasks/agc054_b

思路

怎么看,这题应该要DP,但是描述一个状态是很大问题:你怎么知道选了哪些橙子(共有 2 100 2^{100} 2100种情况)?

经过一番漫长的思考后,师父,我悟了!

其实,并不用描述选了哪些橙子,题目的关键就在排列 P P P和那两人拿橘子的顺序是一一对应的,比如说,Takahashi 依次取了1,5,2号橙子,Aoki依次取了4,3号橙子,那么,有且仅有一个 P P P和这种情况对应,且该 P P P只对应这种情况(用心体会下)

这样,问题就简单多了,设 f i f_i fi表示拿了 i i i个橙子,且它们的重量和恰好等于所有橙子重量和的一半,的方案数.答案就应该是(别忘了取模):
a n s = ∑ i = 1 n f i ⋅ i ! ⋅ ( n − i ) ! ans=\sum^n_{i=1}f_i\cdot i!\cdot (n-i)! ans=i=1∑nfi⋅i!⋅(n−i)!
i ! i! i!是其中一个人拿橙子的顺序的方案数, ( n − i ) ! (n-i)! (n−i)!就是另一个人拿橙子的顺序的方案数

如何得到 f f f?

DP: f i , j f_{i,j} fi,j表示拿了 i i i个橙子,总重量为 j j j的方案数,过程有点像背包问题,应该都会了吧

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define N 110
#define ll long long
#define mod 998244353ll
ll f[N][10010];
ll n , w[N] , sumw;
ll fac[N];int main() {fac[0] = 1;for(int i = 1 ; i <= 100 ; i++)fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;cin >> n;for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {cin >> w[i];sumw += w[i];}if(sumw % 2 == 1) {cout << 0;return 0;}f[0][0] = 1;for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//枚举第i个橙子for(int j = n ; j >= 0 ; j--)//一共j个橙子(除了i),注意倒叙枚举for(int k = sumw ; k >= 0 ; k--)//重量(除了i)f[j + 1][k + w[i]] += f[j][k],f[j + 1][k + w[i]] %= mod;ll ans = 0;for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//求答案ans = (ans + fac[i] * fac[n - i] % mod * f[i][sumw / 2] % mod) % mod;cout << ans << endl;return 0;
}

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