Unity Shader学习三：坐标空间的变换

（注意，由于格式问题，文中如p-c、c-p、c、p这类的为矢量的下标，-1、T为矩阵的上标）

假设现在有一个父坐标空间以及一个子坐标空间，已知父级坐标空间中子级坐标空间的原点位置以及3个单位坐标轴，此时一般由两种需求：一种是将子坐标空间下表示的点或矢量Ac转换到父坐标空间下的表示Ap；另一种需求是反过来，即把父坐标空间下表示的点或矢量Bp转换到子坐标空间下的表示Bc。可以使用下面的两个公式来表示这两种需求：

Ap = Mc-p Ac

Bc = Mp-c Bp

其中Mc-p表示从子坐标空间变换到父坐标空间的变换矩阵，而Mp-c是其逆矩阵（即反向变换）。此时，只需求解出其中一个矩阵，另一个通过求逆矩阵的方法来得到。

当给定一个坐标空间以及其中的一点（a, b, c）时，可以通过4个步骤来确定它的位置：

1.从坐标轴的原点开始；

2.向x轴方向移动a个单位；

3.向y轴方向移动b个单位；

4.向z轴方向移动c个单位。

此时已知子坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下的表示Xc，Yc，Zc，以及其原点位置Oc。当给定一个子坐标空间中的一个点Ac = （a，b，c），使用上述的4步来确定点Ac在父坐标空间下的位置Ap：

1.从坐标空间的原点开始：

已知子坐标空间的原点位置Oc；

2.向x轴方向移动a个单位

Oc + aXc

3.向y轴方向移动b个单位

Oc + aXc + bYc

4.向z轴方向移动c个单位

Oc + aXc + bYc + cZc

此时得到公式：

Ap = Oc + aXc + bYc + cZc （将所有矢量展开）

其中“|”符号表示按列展开，最后还可以加上加法表达式即平移变换，此时需要将上面公式中的3x3矩阵扩展到齐次坐标空间中，得到

此时，可得Mc-p 矩阵为

一旦求出Mc-p矩阵后，Mp-c矩阵可以通过求逆矩阵的方法得到。

由矩阵结果可以看出，变换矩阵Mc-p实际上可以通过坐标空间C在坐标空间P中的原点和坐标轴的矢量表示来构建的：把3个坐标轴一次放入矩阵的前3列，把原点矢量放到最后一列，再用0和1填充最后一行即可。

需要注意的是，并不需要要求3个坐标轴Xc，Yc，Zc是单位矢量，实际上如果存在缩放的话，这3个矢量很可能不是单位矢量。

使用反向思维，可以从这个变换矩阵反推来获得子坐标空间的原点与坐标轴方向。例如，已知从模型空间到世界空间的一个4x4的变换矩阵，可以提取它的第一列再进行归一化后（为了消除缩放的影响）来得到模型空间的x轴再世界空间下的单位矢量表示。同样的方法可以提取y轴和z轴。

从另一个角度来理解这个提取过程，因为矩阵Mc-p可以把一个方向矢量从坐标空间C变换到坐标空间P中，那么只需要用这个矩阵来变换坐标空间C的x轴（1，0，0，0），即使用矩阵乘法 Mc-p[1,0,0,0]T，得到的结果正是Mc-p矩阵的第一列。

由于对方向矢量进行的坐标空间变换是可以忽略位置变换（平移）的，所以对方向矢量的坐标空间变换可以使用3x3矩阵，即

Mc-p =

再Shader中，常常截取变换矩阵的前3行与前3列来对法线方向、光照方向进行空间变换。

前面提过Mc-p表示从子坐标空间变换到父坐标空间的变换矩阵，而Mp-c是其逆矩阵（即反向变换由父坐标空间变换到子坐标空间），但是当Mc-p为正交矩阵时，矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，即Mc-p-1 = Mc-pT，所以

此时，不仅可以通过变换矩阵Mc-p反推出子坐标空间的坐标轴方向再父坐标空间中的表示Xc，Yc，Zc，还可以反推出父坐标空间的坐标轴方向再子坐标空间中的表示Xp，Yp，Zp，这些坐标轴对应的就是变换矩阵Mc-p的每一行。

也就是说，若坐标空间变换矩阵Ma-b是一个正交矩阵，那么就可以提取其第一列来得到坐标空间a的x轴在坐标空间b下的表示，还可以提取其第一行来得到坐标空间b的x轴在坐标空间a下的表示。反过来，如果知道坐标空间b的x，y，z轴（必须是单位矢量，否则构建出来的就不是正交矩阵了）在坐标空间a下的表示，就可以将它们依次放在矩阵的每一行来得到坐标空间a到坐标空间b的变换矩阵了。

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