1.7 空间正交分解

空间正交分解

空间的直和分解只保证向量分解的唯一性，不保证分解后的向量互相垂直，垂直能简化问题，因为内积为0，所以必须研究子空间正交分解。

平面内每条直线是子空间，两直线垂直时，是平面的正交分解。三维空间中，平面和直线垂直时是正交分解。几何上是如何定义直线垂直平面的？直线垂直于平面内任意直线，据此定义子空间垂直。

定义子空间正交两个子空间内各取任一向量，它们互相垂直，记为 S1⊥S2S_1 \bot S_2S1⊥S2 。

例如四维空间，两个子空间分别为 S1=((1,0,0,0),(1,1,0,0))S_1 = ((1,0,0,0),(1,1,0,0))S1=((1,0,0,0),(1,1,0,0)) ， S2=((0,0,1,1),(0,0,2,1))S_2 = ((0,0,1,1),(0,0,2,1))S2=((0,0,1,1),(0,0,2,1)) 。S1S_1S1 空间内任意向量 v1=(α1+α2,α2,0,0)\mathbf{v_1} = (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,0,0)v1=(α1+α2,α2,0,0) ， S2S_2S2 空间内任意向量 v2=(0,0,β1+2β2,β1+β2)\mathbf{v_2} = (0,0,\beta_1+2\beta_2,\beta_1+\beta_2)v2=(0,0,β1+2β2,β1+β2) ，两个向量内积为0，故这两个子空间正交。

重要性质 子空间正交是直和，只在原点相交。

证：令向量 v\mathbf{v}v 同时属于两个子空间，因为两空间正交，所以向量 v\mathbf{v}v 内积为0，则向量 v\mathbf{v}v 为 0\mathbf{0}0 向量。

给定两个子空间，如何判断它们正交？几何上，直线垂直于平面的判断定理是，直线垂直于平面内两个不共线的直线。平面内两个不共线的直线，就是平面的生成向量组，也是基！

重要性质 两个子空间的生成向量组中任意两个向量互相垂直时，子空间正交，反之亦然。

证：假设两个子空间的生成向量组分别为 V1=(v1,⋯,vn)V_1 = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})V1=(v1,⋯,vn) 和 V2=(u1,⋯,um)V_2 = (\mathbf{u_{1}},\cdots,\mathbf{u_m})V2=(u1,⋯,um) ，m,nm,nm,n 为任意自然数。子空间 V1V_1V1 的任意向量为其线性组合，v=α1v1+⋯+αnvn\mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}v=α1v1+⋯+αnvn ，子空间 V2V_2V2 的任意向量为其线性组合，u=β1u1+⋯+βmum\mathbf{u} = \beta_1\mathbf{u_1}+\cdots+\beta_m\mathbf{u_m}u=β1u1+⋯+βmum ，内积为

(v,u)=(α1v1+⋯+αnvn,β1u1+⋯+βmum)=∑ij(αiβj(vi,uj))(\mathbf{v},\mathbf{u}) = (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \beta_1\mathbf{u_1}+\cdots+\beta_m\mathbf{u_m}) \\ = \sum_{ij}(\alpha_i\beta_j(\mathbf{v_i},\mathbf{u_j})) (v,u)=(α1v1+⋯+αnvn,β1u1+⋯+βmum)=ij∑(αiβj(vi,uj))
当任意 (vi,uj)＝0(\mathbf{v_i},\mathbf{u_j})＝0(vi,uj)＝0 时，上式为0，说明任意向量垂直，子空间正交。

重要性质 两个子空间正交时，它们的基向量互相垂直，反之亦然。

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