欧几里得gcd/extend_gcd
正式叙述前还写了一点自己的小感受。
问题:求两个正整数a,b的最大公约数。
大神看来是很简单的问题,但是对于去年夏天刚学python的我来说,这是个很难的问题,还记得当时一晚上睡不着都在想怎么快一点的求出最大公约数,后来猜测最小公倍数的求法,还有最后想出来的欣喜若狂,我现在还记忆犹新。
还记得看过一个小梗:一个农民种着种着地,一排一排的种,突然陷入深思,沉思良久,回去算了很久以后,借了钱疯了似的坐火车跑到中科院门口,等来数学系教授,向他讲述了自己的重大发现。大概意思就是,自己从田地中大彻大悟,发明了一种快速计算方法,不用计数,不用加法,不用数学,还给了教授一张伟大的定律表。
教授告诉他:你真的很厉害,你的发现很伟大,能在种田中悟出来这种算法可不容易。
但是,你发明的这种算法叫乘法,你给我的表,完善一下以后,叫九九乘法表。
农民继续回去种田
(这个故事告诉我们要多虚心接受知识,不要老自己想。。。。)
我知道了欧几里得算法以后,感觉自己就跟这个农民一样。。。。。。。
不过,知道了自己的想法就是欧几里得算法时,还是挺高兴的。。。
就当锻炼思维了吧。。只能这么安慰自己。
好,开始正题。。。。::
我当时的思路是这样的:求a,b的最大公约数,假设最大公约数是x的话,a一定可以用i*x来表示,b也一定可以用j*x来表示,我们怎么把i和j去掉,把x榨出来呢??
让这俩数不断互相相减就可以啦!
后来自己想到了互相取余。
我们来看正规的欧几里得算法:
首先放简介:欧几里德算法又称辗转相除法,是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。
看代码实现:
Python
def gcd(a, b):while a != 0:a, b = b % a, areturn b
后来知道了欧几里得还有拓展:
可以用来求二元一次方程的通解,还可以用来求乘法逆元。
已知整数a、b,扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时,能找到整数x、y(其中一个很可能是负数),使它们满足贝祖等式ax+by=gcd(a,b)
如果a是负数,可以把问题转化成|a|(-x)+by=gcd(|a|,b) ,然后令x'=(-x)。
//返回 d=gcd(a,b); 和对应于等式 ax+by=d 中的 x,y
long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{if(a==0&&b==0) return −1;//无最大公约数if(b==0){x=1;y=0;return a;}long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);y−=a/b*x;return d;
}
求逆元,真的不想叙述了,上个代码算了
//********* 求逆元 *******************
//ax = 1(mod n)
long long mod_reverse(long long a,long long n)
{long long x,y;long long d=extend_gcd(a,n,x,y);if(d==1) return (x%n+n)%n;else return −1;
}
逆元,利用欧拉:
mod 为素数, 而且 a 和 m 互质
long long inv(long long a,long long mod)//为素数mod
{return pow_m(a,mod−2,mod);
}
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