三点外接圆_故地重游伪切圆——伪外接圆的基本性质

在思考一个有关于伪外接圆的等角线问题时，我回想起伪外接圆的一道小题目，这是2012年罗马尼亚大师杯的第六题，这道题目直接以结论的形式呈现出了伪外接圆的基本性质，是一道入门伪外接圆必做的精巧小题。

当然有些读者可能从未见过"伪外接圆"这一名词，这里给出定义叙述:过三角形两点且与内切圆相切的圆成为此三角形的伪外接圆。

由于伪外接圆与内切圆相切，所以一般也归于广义的伪切圆。

由地位的对称性，我们知道一个三角形有三个伪外接圆，在这道题目中这三个圆就是ω_a,ω_b,ω_c。

题目本身的图很容易想象，所以这里就略去了画图这一步骤了，待后面有必要时再画。

第一句话AA',BB',CC'三线共点是一句废话，这由根心定理立得。然这样的证明对后一句话没有任何帮助，因为想证明此点在IO上的话，就不得不把这个点本身刻画出来。

设△ABC的内切圆与BC,CA,AB分别切于D,E,F，与ω_a,ω_b,ω_c相切于X,Y,Z，设ω_a中弧BC的中点为L，ω_b中弧CA的中点为M，ω_c中弧AB的中点为N。下面我们通过局部化来对本题中ω_a的性质进行探索。

在两圆位似的观点下，XD显然过弧BC的中点L，这说明∠LCD＝∠BXD＝∠LXC，得到△LCD∽△LXC，于是LB²＝LC²＝LD×LX，所以L在○I与点圆C的根轴上。同理M也在○I与点圆C的根轴上。

于是直线LM⊥IC，LM∥DE，且LM经过线段CD,CE的中点。

设XD与YE交于K，已知D,E,X,Y四点共圆且LM∥DE，由Reim定理知L,M,X,Y四点共圆，于是KL×KX＝KM×KY，说明K在ω_a和ω_b的根轴CC'上。由地位的对称性，K也在直线AA'和BB'上。

下面来证K在直线IO上。

已经得到LM∥DE，同理MN∥EF，NL∥FD，故△LMN与△DEF位似。

设△ABC的旁心三角形为I_aI_bI_c，则L,M,N分别是线段DI_a,EI_b,FI_c的中点，且△I_aI_bI_c与△DEF位似，也与△LMN位似，位似中心均为K，则△I_aI_bI_c,△DEF的两个外心和K这三点共线。

注意I是△DEF的外心兼△I_aI_bI_c的垂心，O是△I_aI_bI_c的九点圆圆心，于是IO经过△I_aI_bI_c的外心。前面已证K在△I_aI_bI_c外心与I的连线上，现在又知这条线就是IO，所以原命题得证。

附加探索:

根据△I_aI_bI_c与△LMN位似比为2:1(这个比例是由于LM经过线段CD,CE的中点)还可以立刻得到O是△LMN的外心。

作DD'⊥EF于D'，类似定义E',F'。已知I_aA⊥I_bI_c且△DEF与△I_aI_bI_c位似，所以D'和A是位似对应点，从而A,D',K共线，进一步得到△D'E'F'与△ABC位似，且位似中心为K。

由这道题及上面的附加探索，我们得到伪外接圆相关的几个基本结论:

伪外接圆与内切圆的切点在旁心和内切圆与对边切点的连线上，用上面的字母来表示就是X,D,I_a三点共线。
M在○I与点圆C的根轴上。
ω_a经过线段I_aD的中点。
三个伪外接圆的根心(题中的点K)是旁心三角形与内切圆切点三角形的位似中心(这个点称为切聚点，在ETC中标号为X57)。
△D'E'F'与△ABC位似且位似中心为K。

最后附上本文最初提到的那道等角线的题目，此题我尚未做出，难度未可知，请读者慎重尝试。如图所示，证明标注的两个角相等。

三点外接圆_故地重游伪切圆——伪外接圆的基本性质相关推荐

python编程怎么画三角形的外接圆_用MATLAB画三角形外接圆
用 MATLAB 画三角形的外接圆 clear all ;close all ; clc; %1. 画三角形 : 随机产生三个顶点坐标,将各顶点连接. a=[x1,y1;x2,y2;x3,y3] a= ...
python如何画三角形的外接圆_用python画三角形外接圆和内切圆
刚看了<最强大脑>中英对决,其中难度最大的项目需要选手先脑补泰森多边形,再找出完全相同的两个泰森多边形.在惊呆且感叹自身头脑愚笨的同时,不免手痒想要借助电脑弄个图出来看看,闲来无事吹吹NB ...
css 商城两列_如何使用css伪元素实现超实用的图标库（附源码）
今天我们来复盘一下前端中css伪元素的知识以及如何用css伪元素来减轻javascript的压力,做出一些脑洞大开的图形. 预备知识伪元素伪元素是一个附加至选择器末的关键词,允许你对被选择元素的特 ...
谷粒商城三阶段课件_苏科版初中物理九年级上册二、变阻器公开课优质课课件教案视频...
课题: 14.2变阻器教学目标: 1．知道滑动变阻器的构造及工作原理. 2．能画出滑动变阻器的结构示意图和符号. 3．会正确连接和使用滑动变阻器. 4．了解生活中变阻器的一些应用. 教学重点.难点: ...
朱松纯：初探计算机视觉的三个源头_兼谈人工智能
来源:http://www.stat.ucla.edu/~sczhu/Blog_articles/正本清源:%20初探计算机视觉的三个源头_兼谈人工智能.pdf 我觉得他讲的挺好,机器学习其实并没有本 ...
将计算机系成绩置零,实验三数据更新操作_计算机软件及应用_IT计算机_专业资料...
实验三数据更新操作_计算机软件及应用_IT计算机_专业资料 (5页) 本资源提供全文预览,点击全文预览即可全文预览,如果喜欢文档就下载吧,查找使用更方便哦! 9.9 积分杭州电子科技大学实验报告实验 ...
轨迹发生器 matlab,GPS和INS组合导航程序，其中包括轨迹发生器、KALMAN滤波、模型建立、伪距伪距率组合方式进行仿真...
中文说明: GPS和INS组合导航程序,其中包括轨迹发生器.KALMAN滤波.模型建立.伪距伪距率组合方式进行仿真,可以对程序进行任意修改,有实验报告作为示例,可以作为导航专业的毕业设计参考例程使用. ...
学习笔记（10）伪类伪元素
目录 1,伪类 2,伪元素 3,伪类伪元素的区别 3.1,相同点 3.2,不同点 1,伪类 w3c的定义:CSS伪类是用来添加一些选择器的特殊效果. 伪类是指原本存在的标签,在满足某些条件的情况下,就 ...
【web】伪类伪元素
伪类伪元素伪类选择器可以理解为描述元素的某种状态常用伪类 a标签的4种伪类(要按顺序书写:link.visited.hover.active) :link:元素链接点击前的样式 :visited ...

三点外接圆_故地重游伪切圆——伪外接圆的基本性质

附加探索:

三点外接圆_故地重游伪切圆——伪外接圆的基本性质相关推荐

最新文章

热门文章